Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 50 стр.

                                                                       Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

                               d yi
                                    = f i  x , y 1 , .. . , y m  ,                      (2.2)
                               dx
где: i=1,...,m; y i 0= y 0i .
       Если i=1 , то мы получаем обыкновенное дифференциальное урав-
нение первого порядка:
                                      dy
                                         = f  x , y ,                                   (2.3)
                                      dx
       При этом решение задачи Коши для уравнения (2.3) заключается в
нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку и
удовлетворяющую заданному начальному условию y a = y a . Задача состо-
ит в том, чтобы найти искомую функцию y , удовлетворяющую (2.3) и за-
данным начальным условиям.
       Построение численных алгоритмов решения уравнения (2.1) опирает-
ся на дискретизацию задачи. Введем в области расчета x ∈[ a ,b ] дискрет-
ный набор точек x i=ahi , i=0, 1, ... , N , h=b−a / N , в которых будем вычис-
лять приближенное решение. Точки x i называются узлами интегрирования
или узлами сетки, расстояние h - шагом интегрирования или шагом сетки.
Сеточной областью (сеткой) называется совокупность всех узлов.
       Для характеристики точности численного метода определяется по-
грешность приближенного решения по формуле:
                                  =max∣ y i − y  x i ∣ ,                (2.4)
                                       i
где y  x i  - значение точного решения в узле сетки.
       Существует два класса методов для решения задачи (2.1):
       1) семейство одношаговых методов (Рунге-Кутта);
       2) семейство многошаговых (m-шаговых) методов.
       Численный метод называется явным, если вычисление решения в
следующей точке yi + 1 осуществляется по явной формуле. Метод называется
одношаговым, если вычисление решения в следующей точке yi + 1 производит-
ся с использованием только одного предыдущего значения yi .
       В дальнейшем будем рассматривать численные методы решения зада-
чи Коши на примере уравнения первого порядка:


                               {
                                   dy
                                      =а  x , y  , axb
                                   dx                                                     (2.5)
                                         y  a= y a

                             2.2.1. Метод Эйлера
      Простейшим численным методом решения задачи Коши (2.5) для
обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера, кото-
рый еще называют методом ломаных Эйлера.


                                            50