Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 51 стр.

Глава 2 Дифференциальные уравнения

       По оси x введем равномерную сетку с шагом h0 , т.е. рассмот-
рим систему точек x i= { x i=i⋅x ,i=0, 1, 2,. . . } . Обозначим через y  x  точное ре-
шение задачи (2.5) , а через y i= y  x i  - приближенные значения функций
  y в заданной системе точек.
       Заменяя в уравнении (2.5) производную в окрестности каждого i -го
узла сетки разностным отношением, приходим к уравнению:
                   y i1 − y i
                               = f  xi , yi  ,   i=0,1,2 , … , N −1 , y 0 = y a .       (2.6)
                       h
          Алгебраические соотношения между компонентами сеточной функ-
ции, которыми заменяются исходные дифференциальные уравнения в
окрестности каждого узла сетки, называются разностными уравнениями.
Поэтому уравнение (2.6) — разностное уравнение.
          В окончательной форме значения y i1 можно определить по явной
формуле
                                 y i1 = y i h⋅ f  xi , y i  .        (2.7)
          Геометрическая интерпретация метода Эйлера: интегральная кривая
  y  x  на отрезке [a ; b] приближается к ломаной, наклон которой определя-
ется наклоном интегральной кривой уравнения в точке [ x i ; y i ] (рис.1).
          Метод Эйлера относится к явным одношаговым методам. Вследствие
систематического накопления ошибок метод используется редко или исполь-
зуется только для оценки вида интегральной кривой. Метод Эйлера называ-
ют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.




                    Рис.1. Геометрическая интерпретация метода Эйлера
        ПРИМЕР 1. Решение задачи Коши методом Эйлера. Применяя ме-
тод Эйлера, найти решение задачи Коши:                      {   y ' = y−x
                                                                y 0=1.5
                                                                            в трех последователь-


                                                    51