Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2 Дифференциальные уравнения
Метод Эйлера-Коши называют методом Рунге-Кутта второго порядка
точности.
ПРИМЕР 2. Решение задачи Коши методом Эйлера-Коши. Приме-
няя метод Эйлера-Коши, найти решение задачи Коши:
{
y ' = y−x
y0=1.5
в трех по-
следовательных точках
x
1
=0.2
,
x
2
=0.4
,
x
3
=0.6
.
Решение:
Возьмем шаг
0.2h
=
. Используя расчетную формулу Эйлера-Коши
(2.8), найдем приближенное решение задачи Коши:
y
1
o
= y
0
hf x
0,
y
0
=1.50.21.5−0=1.8
y
1
= y
0
h
y
0
− x
0
f x
1,
y
1
o
2
=1.50.2
1.5−01.8−0.2
2
y
1
=1.50.2
1.51.6
2
=1.50.31=1.81
y
2
= y
1
h
y
1
− x
1
f x
2
, y
2
o
2
y
2
=1.810.2
1.81−0.22.132−0.4
2
=1.810.3342=2.1442
y
3
o
= y
2
h y
2
−x
2
=2.14420.2 2.1442−0.4=2.49304
y
3
= y
2
h
y
2
−x
2
f x
3
, y
3
o
2
y
2
=2.14420.2
2.1442−0.42.49304−0.6
2
=2.14420.363724=2.507924
Таким образом, получили численное решение задачи Коши:
x
i
0 0.2 0.4 0.6
y
i
1.5 1.81 2.1442 2.507924
Графиком приближенного решения является ломаная, последователь-
но соединяющая точки (
x
i
, y
i
) .
Как видим, решения задачи Коши, полученные методом Эйлера и ме-
тодом Эйлера-Коши очень близки.
2.2.3. Метод Рунге-Кутта
В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рун-
ге-Кутта четвертого порядка (классический метод Рунге-Кутта), поскольку
позволяет наиболее точно находить решения обыкновенного дифференци-
ального уравнения.
В этом методе значения
y
i1
находятся по следующим формулам:
y
i1
= y
i
 y
i
; y
i
=hk
1
2 k
2
2 k
3
k
4
/6
, где
i=0,1,...
;;
1
)
y
x
f(
k
i
i
=
;
22
12
)
k
h
y
,
h
x
f(
k
i
i
⋅++=
(2.9)
53
Глава 2 Дифференциальные уравнения

      Метод Эйлера-Коши называют методом Рунге-Кутта второго порядка
точности.
      ПРИМЕР 2. Решение задачи Коши методом Эйлера-Коши. Приме-
няя метод Эйлера-Коши, найти решение задачи Коши:                    {   y ' = y−x
                                                                         y 0=1.5
                                                                                     в трех по-
следовательных точках x 1=0.2 , x 2=0.4 , x 3=0.6 .
       Решение:
       Возьмем шаг h = 0.2 . Используя расчетную формулу Эйлера-Коши
(2.8), найдем приближенное решение задачи Коши:
       y o1= y 0hf  x 0, y0 =1.50.21.5−0=1.8
                                        o
                   y 0− x 0 f  x 1, y 1              1.5−01.8−0.2
       y 1= y 0h                           =1.50.2
                               2                              2
                       1.51.6
       y 1=1.50.2                =1.50.31=1.81
                            2
          o
       y 2= y 1h y 1−x 1 =1.810.2 1.81−0.2=2.132
                   y 1− x1  f  x 2 , y o2 
       y 2= y 1h
                               2
                         1.81−0.22.132−0.4
       y 2=1.810.2                                     =1.810.3342=2.1442
                                       2
          o
       y 3= y 2 h y 2 −x 2 =2.14420.2 2.1442−0.4=2.49304
                                 y −x  f  x 3 , y o3
                  y 3= y 2h 2 2
                                             2
                            2.1442−0.42.49304−0.6
       y 2=2.14420.2                                        =2.14420.363724=2.507924
                                               2
      Таким образом, получили численное решение задачи Коши:
 xi            0                   0.2       0.4           0.6
  yi           1.5                 1.81      2.1442        2.507924
       Графиком приближенного решения является ломаная, последователь-
но соединяющая точки ( x i , y i ) .
       Как видим, решения задачи Коши, полученные методом Эйлера и ме-
тодом Эйлера-Коши очень близки.
                             2.2.3. Метод Рунге-Кутта
           В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рун-
ге-Кутта четвертого порядка (классический метод Рунге-Кутта), поскольку
позволяет наиболее точно находить решения обыкновенного дифференци-
ального уравнения.
           В этом методе значения y i1 находятся по следующим формулам:
 y i1= y i  y i ; y i =hk 12 k 22 k 3k 4 /6 , где i=0,1, ...
                                  h       h
k 1 = f( xi ; y i ); k 2 = f( xi + , y i + ⋅ k 1 );                   (2.9)
                                  2       2

                                             53

Страницы