Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2 Дифференциальные уравнения
При решении этой задачи методом конечных разностей отрезок
[a , b]
разбивают на равные части с шагом
h
, где
n
ab
h
−
=
. Точки разбиения име-
ют абсциссы
x
k
=x
1
k −1⋅h ,
k =1,2 , … , n1
,
x
1
=a
,
x
n1
=b
.
Значения в точках деления
x
k
искомой функции и её производных
обозначим соответственно через
y
k
= y x
k
, y '
k
= y ' x
k
, y' '
k
= y ' ' x
k
. Заменяя производные правыми одно-
сторонними конечно-разностными отношениями для внутренних точек
x
k
отрезка
[a , b]
, приближенно будем иметь
y
k
'
=
y
k 1
− y
k
h
,
y
k
''
=
y
k 2
−2y
k 1
y
k
h
2
.
(3.3)
Для концевых точек
x
1
=a
и
x
n1
=b
полагаем
y
1
'
=
y
2
− y
1
h
и
y
n1
'
=
y
n1
− y
n
h
.
(3.4)
Используя формулы (3.3), дифференциальное уравнение (3.1) при
x= x
k
(
k =2,3 , … , n
) приближенно можно заменить системой линейных
уравнений
y
k 2
−2y
k1
y
k
h
2
p x
k
y
k 1
− y
k
h
q x
k
y
k
= f x
k
,
k =1,2,… , n – 1
.
В силу формул (3.4) краевые условия (3.2) дополнительно дают ещё два
уравнения
1
y
1

2
y
2
− y
1
h
= A ,
1
y
n1
2
y
n1
− y
n
h
=B .
Таким образом получаем систему
n1
линейных уравнений с
n1
неизвестными
y
1
, y
2
,... , y
n
, y
n1
, представляющими собой значения искомой
функции
y= y x
,
{
y
k2
−2y
k1
y
k
h
2
p x
k
y
k 1
− y
k
h
q x
k
y
k
= f x
k
,
1
y
1
2
y
2
− y
1
h
=A ,
1
y
n 1
2
y
n 1
− y
n
h
= B .
Обозначим
p x
k
= p
k
, q x
k
=q
k
, f x
k
= f
k
.
Выполнив алгебраические
преобразования над уравнениями, можно привести систему к следующему
виду:
55
Глава 2 Дифференциальные уравнения

       При решении этой задачи методом конечных разностей отрезок [a , b]
                                                                                 b− a
разбивают на равные части с шагом h , где                                  h=         .    Точки разбиения име-
                                                                                  n
ют абсциссы
                  x k =x 1  k −1⋅h ,                k =1,2 , … , n1 , x 1 =a , x n1=b .
          Значения в точках деления x k искомой функции и её производных
   '    '           ''    ''
 y = y  x , y =y  x                           обозначим                       соответственно через
 y k = y  x k  , y ' k = y '  x k  , y ' ' k = y ' '  x k  . Заменяя производные правыми одно-
сторонними конечно-разностными отношениями для внутренних точек x k
отрезка [a , b] , приближенно будем иметь
                                                                   y −y
                                                           y 'k = k 1 k ,
                                                                      h
                                                             y k 2 −2y k 1  y k                (3.3)
                                                    y ''k =                        .
                                                                     h2
          Для концевых точек x 1 =a и x n1=b полагаем
                                                  y −y                     y −y
                                          y '1 = 2 1 и y 'n1= n1 n .                            (3.4)
                                                     h                          h
        Используя формулы (3.3), дифференциальное уравнение (3.1) при
 x= x k   ( k =2,3 , … , n ) приближенно можно заменить системой линейных
уравнений
              y k 2 −2y k 1  y k                y k 1 − y k
                           2
                                       p  xk                 q  x k  y k = f  x k  ,   k =1, 2, … , n – 1 .
                       h                                h
     В силу формул (3.4) краевые условия (3.2) дополнительно дают ещё два
уравнения
                                                     y 2− y 1
                                                    1 y 1 2=A,
                                                        h
                                                     y −y
                                          1 y n12 n1 n =B .
                                                         h
     Таким образом получаем систему n1 линейных уравнений с n1
неизвестными y 1 , y 2 ,. .. , y n , y n1 , представляющими собой значения искомой
функции y= y  x  ,




                 {
                     y k2−2y k1 y k      y k 1− y k
                                           p  xk     q x k  y k = f  x k  ,
                    h2                            h
                                             y −y
                                1 y 1 2 2 1 =A ,
                                                 h
                                            y n 1− y n
                             1 y n 1 2              =B.
                                                  h
       Обозначим p  x k = p k , q  x k =q k , f  x k = f k . Выполнив алгебраические
преобразования над уравнениями, можно привести систему к следующему
виду:

                                                            55

Страницы