Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 54 стр.

                                                                         Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

                h        h
k 3 = f( xi +     , y i + ⋅ k 2 );   k 4 = f( xi + h, y i + h ⋅ k 3 ).
                2        2
ПРИМЕР 3. Решение задачи Коши методом Рунге-Кутта 4 порядка. При-
меняя метод Рунге-Кутта, найти решение задачи Коши:                             {   y ' = y−x
                                                                                    y 0=1.5
                                                                                                в трех
последовательных точках x 1=0.2 , x 2=0.4 , x 3=0.6 .
       Решение:
       Возьмем шаг h=0.2 . Используя расчетные формулы Рунге-Кутта
(2.9), найдем приближенное решение задачи Коши:
 k 1= f  x 0, y 0 = y 0− x 0=1.5−0=1.5
                 h        h
 k 2 = f  x 0 , y 0 k 1 = f 00.2/2, 1.50.2/2⋅1.5= f 0.1 ,1 .65=1.65−0.1=1.55
                 2        2
 k 3= f 0.1 , 1.50.1⋅1.55= f  0.1 , 1.655=1.655−0.1=1.555
 k 4 = f 0.2 ,1.50.2⋅1.555= f 0.2 ,1 .811=1.811−0.2=1.611
 y 1= y 0h k 12 k 22 k 3k 4 /6=1.50.21.52⋅1.552⋅1.5551.611/6=1.8107
 k 1= f  x1, y 1 = y 1−x 1=1.8107−0.2=1.6107
                h        h
 k 2 = f  x 1 , y 1 k 1= f 0.20.1 , 1.81070.1⋅1.6107= f 0.3 ,1 .97177=1.67177
                2        2
 k 3= f 0.3 , 1.81070.1⋅1.67177= f 0.3 , 1.977877=1.977877−0.3=1.677877
 k 4 = f 0.4 ,1.81070.2⋅1.677877= f  0.4 , 2.1462754=1.7462754
 y 2= y 1h k 12 k 22 k 3k 4 /6
 y 2=1.81070.21.61072⋅1.671772⋅1.6778771.7462754/6=2.14590898
Аналогично находим y 3=2.511053228172
      Таким образом, получили численное решение задачи Коши:
 xi           0                 0.2       0.4           0.6
 yi           1.5               1.8107    2.14590898    2.511053228172
       Графиком приближенного решения является ломаная, последователь-
но соединяющая точки ( x i , y i ) .
 2.3. Решение краевых задач для линейных дифференциальных уравне-
           ний второго порядка методом конечных разностей
      Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
                               y '' p x  y ' q  x  y= f  x  ,       (3.1)
где p  x  , q x  и f  x  — некоторые непрерывные на [a , b] функции. Крае-
вая задача для линейного дифференциального уравнения состоит в нахожде-
нии его решения y= y  x  , удовлетворяющего двухточечным линейным крае-
вым условиям

                                          {1 y  a 2 y ' a= A ,
                                           1 y b2 y ' b=B ,
                                                                                                 (3.2)

где 1, 2, 1, 2, A , B — постоянные и ∣1∣∣ 2∣≠0 , ∣1∣∣2∣≠0 .

                                                              54