Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Т.Н. Губина, Е.В. Андропова
{
h
2
q
k
−h p
k
1 y
k
h p
k
−2 y
k1
y
k2
=h
2
f
k
,
1
h−
2
y
1

2
y
2
=h A ,
−
2
y
n
1
h
2
y
n1
=h B.
(3.5)
Решив систему, получим таблицу значений искомой функции
y x
.
ПРИМЕР 4. Найти решение уравнения
y ' '2y'
y
x
=5
на
[0,4;0,7]
(
n=3
) с начальными условиями
y 0,4=7
,
y 0,7 – 2 y ' 0,7=3
.
Решение:
Из условия задачи и (1)-(2) следует:
p x =2,q x =
1
x
, f x=5,
1
=1,
2
=0,
1
=1,
2
=−2, A=7,B=3,a=0.4 , b=0.7
.
Разобьём отрезок
на равные части с шагом
h=0.1
,
n=3
.
Точки разбиения имеют абсциссы
x
1
=0.4 , x
2
=0.5 , x
3
=0.6 , x
4
=0.7
.
Построим систему (3.5) линейных алгебраических уравнений, где неиз-
вестными являются
y
1
,..., y
4
.
{
h
2
q
k
−h p
k
1 y
k
h p
k
−2 y
k1
y
k2
=h
2
f
k
,
1
h−
2
y
1

2
y
2
=h A ,
−
2
y
n
1
h
2
y
n1
=h B.
Для коэффициентов основной матрицы системы для
n−1
уравнений
введем обозначения:
a
k , k
=h
2
q
k
−h p
k
1, a
k , k1
=h p
k
−2, a
k ,k 2
=1, k=1,2
. Для ко-
эффициентов последних двух уравнений (
n
-го и
n1
-го) введем
обозначения:
a
n ,1
=
1
h−
2
, a
n ,2
=
2
, a
n1, n
=−
2
, a
n 1, n1
=
1
h
2
Для матрицы свободных членов введем обозначения:
b
k
=h
2
f
k
, b
n
=h A , b
n1
=h B , k =1,2 , n=3, h=0.1
Остальные коэффициенты системы равны нулю.
Составим развернутую систему (3.5) для нашей задачи:
h
2
q 0.4−h p 0.41 y
1
h p 0.4−2 y
2
y
3
=h
2
f 0.4
h
2
q0.5−h p 0.51 y
2
h p 0.5−2 y
3
y
4
=h
2
f 0.5
1
h−
2
y
1
2
y
2
=h A
−
2
y
3
1
h
2
y
4
=h B
Представим систему в матричном виде:
h
2
q0.4−h p 0.41 h p 0.4−2 1 0
0 h
2
q 0.5−h p0.51 h p 0.5−2 1
1
h−
2
2
0 0
0 0 −
2
1
h
2
=
h
2
f 0.4
h
2
f 0.5
h A
h B
Подставим значения переменных в систему:
56
                                                                         Т.Н. Губина, Е.В. Андропова




                          {
                           h2 q k −h p k 1 y k h p k −2 y k1 y k2=h2 f k ,
                                         1 h−2 y 12 y 2=h A ,                            (3.5)
                                      −2 y n  1 h 2 y n1=h B.
           Решив систему, получим таблицу значений искомой функции y  x  .
                                                         y
           ПРИМЕР 4. Найти решение уравнения y ' '2y'  x =5 на [0,4 ; 0,7]
( n=3 ) с начальными условиями
                                    y 0,4=7 ,      y 0,7 – 2 y ' 0,7=3 .
           Решение:
           Из условия задачи и (1)-(2) следует:
                         1
      p  x =2, q  x = , f  x=5, 1=1, 2=0, 1=1, 2=−2, A=7, B=3, a=0.4 , b=0.7 .
                         x
     Разобьём отрезок [a , b] на равные части с шагом h=0.1 , n=3 .
Точки разбиения имеют абсциссы x 1=0.4 , x 2=0.5 , x 3=0.6 , x 4 =0.7 .
     Построим систему (3.5) линейных алгебраических уравнений, где неиз-
вестными являются y 1 ,. . . , y 4 .


                              {
                              h2 q k −h p k 1 y k h p k −2 y k1 y k2=h2 f k ,
                                            1 h−2 y 12 y 2=h A ,
                                         −2 y n  1 h 2 y n1=h B.
     Для коэффициентов основной матрицы системы для n−1 уравнений
введем обозначения: a k , k =h2 q k −h p k 1, a k , k1=h p k −2, a k ,k 2=1, k =1,2 . Для ко-
эффициентов последних двух уравнений ( n -го и n1 -го) введем
обозначения: a n ,1 =1 h− 2 , a n ,2=2 , a n1, n=−2 , a n 1, n1=1 h2
     Для матрицы свободных членов введем обозначения:
           b k =h2 f k , b n=h A , b n1=h B , k =1,2 , n=3, h=0.1
           Остальные коэффициенты системы равны нулю.
           Составим развернутую систему (3.5) для нашей задачи:
                        h 2 q 0.4−h p 0.41 y 1h p 0.4−2 y 2 y 3=h2 f 0.4
                        h 2 q0.5−h p 0.51 y 2h p 0.5−2 y 3 y 4=h2 f 0.5
                                            1 h−2  y 12 y 2=h A
                                           −2 y 3 1 h2  y 4=h B
           Представим систему в матричном виде:



                                                                                         
       2                                                                        2
     h q0.4−h p 0.41         h p 0.4−2          1           0       h f 0.4
                0           h2 q 0.5−h p0.51 h p 0.5−2      1        2
                                                                             = h f  0.5
           1 h−2                      2               0           0          hA
                0                          0             −2      1 h2       hB
      Подставим значения переменных в систему:



                                                   56

Страницы