Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Т.Н. Губина, Е.В. Андропова
Прежде чем приступать к решению дифференциального уравнения,
оно само и граничные условия заменяются разностными аналогами. Вспо-
мним ряд Тейлора для функции
f x
:
f xh= f x  f ' xh
f ' ' x
2!
h
2
...
Рис.1. Сетка для произвольной области
Если оборвать этот ряд на втором члене, то получим
f xh= f x  f ' x h
, или
f ' x≈
f xh− f x
h
.
Выражение, стоящее в правой части, называется правой разностной
производной. Она аппроксимирует первую производную
f ' x
в точке
x
.
В разложении Тейлора функции
f x
можно заменить
h
на
−h
и
получить левую разностную производную
f ' x≈
f x− f x−h
h
.
Вычитая
f x−h≈ f x− f ' x h
из
f xh≈ f x f ' x h
, получаем
центральную разностную производную
.
Если в ряде Тейлора оставить третий член ряда, то можно получить
центральную разностную производную для аппроксимации
f ' ' x
:
f ' ' x≈
1
h
2
[ f xh−2 f x f x−h]
.
Если исходить из разложения Тейлора функции двух переменных
u xh , y =u x , y u
x
x , y hu
x x
x , y
h
2
2!
...,
58
h
h
                                                                                 Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

     Прежде чем приступать к решению дифференциального уравнения,
оно само и граничные условия заменяются разностными аналогами. Вспо-
мним ряд Тейлора для функции f  x  :
                                                                    f ' '  x 2
                              f  xh= f  x  f '  x h                  h ...
                                                                       2!




       h




                                                 h

      Рис.1. Сетка для произвольной области
      Если оборвать этот ряд на втором члене, то получим
                                                                              f  xh− f  x
                  f  xh= f  x  f '  x h , или             f '  x≈                    .
                                                                                     h
    Выражение, стоящее в правой части, называется правой разностной
производной. Она аппроксимирует первую производную f '  x в точке x .
     В разложении Тейлора функции f  x  можно заменить h на −h и
получить левую разностную производную
                                                         f  x− f  x−h
                                             f '  x≈
                                                                h
                                                                          .

     Вычитая f  x−h≈ f  x− f '  x h из                       f  xh≈ f  x f '  x h , получаем
центральную разностную производную
                                                      1
                                        f '  x≈       [ f  xh− f  x−h] .
                                                     2h
     Если в ряде Тейлора оставить третий член ряда, то можно получить
центральную разностную производную для аппроксимации f ' '  x  :
                                                 1
                                  f ' '  x ≈     2
                                                     [ f  xh−2 f  x f  x−h] .
                                                 h
      Если исходить из разложения Тейлора функции двух переменных
                                                                  h2
       u  xh , y =u  x , y u x  x , y hu x x  x , y       ... ,
                                                                  2!



                                                        58

Страницы