Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Т.Н. Губина, Е.В. Андропова
Построим в плоскости прямоугольную сетку (рис.2), узлы которой
определяются формулами:
x
j
= j h , j=0,1,2,..., n ,
t
i
=i k , i=0,1,2,... , m.
Значения
u
i j
на левой и нижней сторонах сетки известны из гранич-
ных и начальных условий. Наша задача состоит в отыскании остальных зна-
чений
u
i j
.
Для решения задачи заменим частные производные в уравнении тепло-
проводности их конечно-разностными аппроксимациями
u
t
x , y≈
u x , tk −u x , t
k
=
1
k
[u
i 1, j
−u
i , j
] ,
u
x x
x ,t ≈
1
h
2
[u xh ,t −2u x ,t u x−h , t ]=
1
h
2
[u
i , j1
−2u
i , j
u
i , j −1
].
Подставим эти выражения в наше уравнение
u
t
=u
x x
и разрешим по-
лучившееся уравнение относительно значений функции на верхнем времен-
ном слое. Имеем:
1
k
[u
i1, j
−u
i , j
]=
1
h
2
[u
i , j 1
−2u
i , j
u
i , j−1
]
.
Отсюда
. (1)
Полученная формула выражает решение в данный момент времени че-
рез решение в предыдущий момент времени (индекс
i
относится к времен-
ной переменной).
Аппроксимируем производную в граничном условии
u
x
1,t =−[u 1,t−g t]
на правом конце, заменив
u
x
1,t
левой разностной
60
X
t
u11
u12
u13
u14
......
u1n
u21
u31
u41
.
.
.
um1
k
h
                                                                                           Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

     Построим в плоскости прямоугольную сетку (рис.2), узлы которой
определяются формулами: x j = j h , j=0,1, 2, ... , n , t i=i k , i=0, 1, 2,... , m.
 um1     t
   .
   .
   .     h

  u41


 u31


  u21
                                                 k                 X

        u11    u12           u13         u14 ......            u1n

     Значения u i j на левой и нижней сторонах сетки известны из гранич-
ных и начальных условий. Наша задача состоит в отыскании остальных зна-
чений u i j .
     Для решения задачи заменим частные производные в уравнении тепло-
проводности их конечно-разностными аппроксимациями
                         u x , tk −u  x , t  1
         u t  x , y≈                           = [ui 1, j−u i , j ] ,
                                   k              k
                           1                                             1
         u x x  x ,t ≈     2
                               [u  xh ,t −2 u  x ,t u  x−h , t ]= 2 [u i , j1−2 u i , jui , j −1 ].
                           h                                             h
     Подставим эти выражения в наше уравнение u t=u x x и разрешим по-
лучившееся уравнение относительно значений функции на верхнем времен-
ном слое. Имеем:
         1                      1
           [u i1, j −u i , j ]= 2 [ui , j 1−2 u i , ju i , j−1 ] .
         k                      h
        Отсюда
                                                     k
                                        u i1, j =      [ui , j 1 −2 u i , jui , j−1 ]u i , j .                 (1)
                                                     h2
      Полученная формула выражает решение в данный момент времени че-
рез решение в предыдущий момент времени (индекс i относится к времен-
ной переменной).
        Аппроксимируем                        производную                        в          граничном      условии
 u x 1, t =−[u 1, t−g t] на правом конце, заменив                                  u x 1, t
                                                                                                  левой разностной


                                                                60

Страницы