Составители:
Рубрика:
Т.Н. Губина, Е.В. Андропова
Построим в плоскости прямоугольную сетку (рис.2), узлы которой
определяются формулами:
x
j
= j h , j=0,1,2,..., n ,
t
i
=i k , i=0,1,2,... , m.
Значения
u
i j
на левой и нижней сторонах сетки известны из гранич-
ных и начальных условий. Наша задача состоит в отыскании остальных зна-
чений
u
i j
.
Для решения задачи заменим частные производные в уравнении тепло-
проводности их конечно-разностными аппроксимациями
u
t
x , y≈
u x , tk −u x , t
k
=
1
k
[u
i 1, j
−u
i , j
] ,
u
x x
x ,t ≈
1
h
2
[u xh ,t −2u x ,t u x−h , t ]=
1
h
2
[u
i , j1
−2u
i , j
u
i , j −1
].
Подставим эти выражения в наше уравнение
u
t
=u
x x
и разрешим по-
лучившееся уравнение относительно значений функции на верхнем времен-
ном слое. Имеем:
1
k
[u
i1, j
−u
i , j
]=
1
h
2
[u
i , j 1
−2u
i , j
u
i , j−1
]
.
Отсюда
u
i1, j
=
k
h
2
[u
i , j 1
−2u
i , j
u
i , j−1
]u
i , j
. (1)
Полученная формула выражает решение в данный момент времени че-
рез решение в предыдущий момент времени (индекс
i
относится к времен-
ной переменной).
Аппроксимируем производную в граничном условии
u
x
1,t =−[u 1,t−g t]
на правом конце, заменив
u
x
1,t
левой разностной
60
X
t
u11
u12
u13
u14
......
u1n
u21
u31
u41
.
.
.
um1
k
h
Т.Н. Губина, Е.В. Андропова Построим в плоскости прямоугольную сетку (рис.2), узлы которой определяются формулами: x j = j h , j=0,1, 2, ... , n , t i=i k , i=0, 1, 2,... , m. um1 t . . . h u41 u31 u21 k X u11 u12 u13 u14 ...... u1n Значения u i j на левой и нижней сторонах сетки известны из гранич- ных и начальных условий. Наша задача состоит в отыскании остальных зна- чений u i j . Для решения задачи заменим частные производные в уравнении тепло- проводности их конечно-разностными аппроксимациями u x , tk −u x , t 1 u t x , y≈ = [ui 1, j−u i , j ] , k k 1 1 u x x x ,t ≈ 2 [u xh ,t −2 u x ,t u x−h , t ]= 2 [u i , j1−2 u i , jui , j −1 ]. h h Подставим эти выражения в наше уравнение u t=u x x и разрешим по- лучившееся уравнение относительно значений функции на верхнем времен- ном слое. Имеем: 1 1 [u i1, j −u i , j ]= 2 [ui , j 1−2 u i , ju i , j−1 ] . k h Отсюда k u i1, j = [ui , j 1 −2 u i , jui , j−1 ]u i , j . (1) h2 Полученная формула выражает решение в данный момент времени че- рез решение в предыдущий момент времени (индекс i относится к времен- ной переменной). Аппроксимируем производную в граничном условии u x 1, t =−[u 1, t−g t] на правом конце, заменив u x 1, t левой разностной 60
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »