Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2 Дифференциальные уравнения
u x−h , y=u x , y−u
x
x , yhu
x x
x , y
h
2
2!
−...,
то можно получить следующие аппроксимации частных производных:
u
x
x , y≈
u xh , y−u x , y
h
,
u
x x
x , y ≈
1
h
2
[u xh , y −2u x , yu x−h , y] ,
u
y
x , y ≈
u x , yk−u x , y
k
,
u
y y
x , y ≈
1
k
2
[u x , yk −2 u x , yu x , y−k ].
Разностные операторы, соответствующие дифференциальному уравне-
нию, записываются во внутренних узлах сетки. Разностные операторы, соот-
ветствующие граничным условиям, записываются в граничных узлах сетки.
В результате получаем систему алгебраических уравнений, число которых
пропорционально числу внутренних узлов сеточной области. Для получения
численного решения требуется решить эту систему уравнений.
Удобно, если предполагается использование ЭВМ для реализации вы-
числений, перейти к следующим обозначениям:
u x , y =u
i j
,
u x , yk=u
i 1, j
,
u x , y−k =u
i −1, j
,
u x−h , y =u
i , j−1
,
u xh , y =u
i , j1
,
,
u
y
x , y =
1
2k
[u
i1, j
−u
i−1, j
]
,
u
x x
x , y =
1
h
2
[u
i , j1
−2 u
i , j
u
i , j −1
]
,
u
y y
x , y =
1
k
2
[u
i1, j
−2u
i , j
u
i −1, j
]
ПРИМЕР 1. Рассмотрим задачу теплопроводности в стержне, начальная
температура которого равна нулю. Пусть температура левого конца
фиксирована, а на правом конце происходит теплообмен с окружающей
средой, так что тепловой поток пропорционален разности температур
конца стержня и среды. Пусть температура среды определяется функ-
цией
g t
. Другими словами, решим задачу:
{
u
t
=u
x x
, 0x1,0t∞ ,
u 0,t=1,
u
x
1,t=−[u1,t− g t ] , 0t ∞,
u x ,0=0, 0 x1.
Решение:
59
Глава 2 Дифференциальные уравнения

                                                                          h2
           u  x−h , y =u  x , y −u x  x , y hu x x  x , y           −... ,
                                                                          2!
то можно получить следующие аппроксимации частных производных:
                            u xh , y−u x , y
           u x  x , y≈                          ,
                                      h
                              1
           u x x  x , y ≈      [u  xh , y −2 u  x , yu x−h , y] ,
                              h2
                            u  x , yk −u x , y
           u y  x , y ≈                           ,
                                       k
                              1
           u y y  x , y ≈      [u x , yk −2 u  x , yu  x , y−k ].
                              k2
      Разностные операторы, соответствующие дифференциальному уравне-
нию, записываются во внутренних узлах сетки. Разностные операторы, соот-
ветствующие граничным условиям, записываются в граничных узлах сетки.
В результате получаем систему алгебраических уравнений, число которых
пропорционально числу внутренних узлов сеточной области. Для получения
численного решения требуется решить эту систему уравнений.
       Удобно, если предполагается использование ЭВМ для реализации вы-
числений, перейти к следующим обозначениям:
 u  x , y =u i j ,          u  x , yk =ui 1, j ,         u  x , y−k =ui −1, j ,
 u  x−h , y =u i , j−1 ,          u  xh , y =u i , j1 ,
                  1                                                 1
 u x  x , y=      [u       −u        ] ,        u y  x , y =      [u     −u      ] ,
                 2 h i , j 1 i , j −1                             2 k i1, j i−1, j
                    1                                                         1
 u x x  x , y =      [u i , j1−2 u i , jui , j −1] ,   u y y  x , y =      [u i1, j −2u i , jui −1, j ]
                    h2                                                        k2
ПРИМЕР 1. Рассмотрим задачу теплопроводности в стержне, начальная
температура которого равна нулю. Пусть температура левого конца
фиксирована, а на правом конце происходит теплообмен с окружающей
средой, так что тепловой поток пропорционален разности температур
конца стержня и среды. Пусть температура среды определяется функ-
цией g t  . Другими словами, решим задачу:



                                             {
                                              u t =u x x , 0x1, 0t∞ ,
                                              u 0, t =1,
                                              u x 1, t=−[u1, t− g t ] , 0t∞ ,
                                              u  x ,0=0, 0 x1.

        Решение:


                                                                   59

Страницы