Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 62 стр.

                                                                                 Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

          Получили явную разностную схему, которая будет устойчивой, если
  2   2
 a k                                   h
     ≤0,5 . Отсюда       k ≤  0,5       . Выберем               a=1, k =0,1 .
  h2                                   a
          Построим алгоритм решения задачи:
      1 шаг. Вводим сетку: m=100 , n=200 , h=1 . Создаем нулевой мас-
сив значений U i , j размера m×n .
          2 шаг. Задаем значения a=1, k =0,1 .
          3 шаг. Заполняем первую и вторую строки массива U начальными усло-
                    x
виями u  x ,0=sin 50 , ut  x ,0=0 ( нулевой начальной скорости соответству-
ет совпадение значений (смещений) в первом и втором столбцах).
      4 шаг. Заполняем первый и последний столбец массива U граничными
условиями u 0, t=u m , t=0 (на концах струны смещение равно нулю в лю-
бой момент времени).
          5 шаг. Находим решение, используя разностную схему
                                      a 2 k2
                         u i1, j =          [u i , j1−2u i , j u i , j−1 ]2 ui , j −u i−1, j .
                                       h2
      Также можно использовать и неявные разностные схемы. В этом слу-
чае частные производные заменяются конечно-разностными аппроксимация-
ми, но u i1, j не выражаются в явном виде через значения на предыдущих
слоях. Для определения u i1, j на каждом временном шаге необходимо ре-
шать систему уравнений. При использовании неявных схем можно вести вы-
числения с достаточно большим шагом.
      Преимущество неявных схем перед явными в том, что в неявных схе-
мах шаг сетки можно сделать достаточно большим, не опасаясь, что ошибки
округления «разрушат» решение.




                                                      62