Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Т.Н. Губина, Е.В. Андропова
ных точках
x
1
=0.2
,
x
2
=0.4
,
x
3
=0.6
. Найти точное решение задачи и
найти величину абсолютной погрешности в указанных точках.
Решение:
Возьмем шаг
0.2h
=
. Используя расчетную формулу Эйлера, найдем
приближенное решение задачи Коши:
y
1
= y
0
0.2 y
0
−x
0
=1.50.2
˙
1.5=1.8
y
2
= y
1
0.2 y
1
−x
1
=1.80.21.8−0.2=2.12
y
3
= y
2
0.2 y
2
− x
2
=2.120.22.12−0.4=2.464
Таким образом, получили численное решение задачи:
x
i
0 0.2 0.4 0.6
1.5 1.8 2.12 2.464
Графиком приближенного решения является ломаная, последователь-
но соединяющая точки (
x
i
, y
i
) .
В этой задаче легко находится точное решение, например, методом ва-
риации постоянной:
y t=0.5e
t
t1
. Вычислим значения точного решения
в указанных точках.
i
t
0 0.2 0.4 0.6
( )
i
y t
1.5 1.811 2.146 2.511
Абсолютную погрешность вычислим так:
( )
i i i
r y t y
= −
. Тогда
1
0.011r
=
,
2
0.026r
=
,
3
0.047r
=
. Таким образом, максимальная величина погрешности
равна
0.05R
≈
.
2.2.2. Метод Эйлера-Коши
Отличительная особенность метода Эйлера-Коши от метода Эйлера
заключается в том, что значение правой части уравнения вычисляется не
только в точках сетки (шаг
h
), но и также в середине отрезков (шаг
h
2
)
(промежуточных точках).
Предположим, что приближенное значение
y
i
решения задачи в точ-
ке
x= x
i
уже известно,
y
i1
вычисляются по следующим формулам:
y
i1
= y
i
 y
i
, y
i
= y
i1
 y
i2
,
y
i1
=
h
2
f x
i
, y
i
, y
i2
=
h
2
f x
i
h , y
i
h f x
i
, y
i

Отсюда вычисляют
y
i1
= y
i
h
f x
i
, y
i
 f x
i1
, y
i
hf x
i
, y
i
2
.
(2.8)
Геометрическая интерпретация метода Эйлера-Коши: определяется
направление интегральной кривой в исходной точке
x
i
, y
i
и во вспомога-
тельной точке
x
i1
, y
i1
o
,
y
i1
o
= y
1
hf x
i
, y
i
, а в качестве окончательного
выбирается среднее из этих направлений.
52
                                                                                  Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

ных точках x 1=0.2 , x 2=0.4 , x 3=0.6 . Найти точное решение задачи и
найти величину абсолютной погрешности в указанных точках.
      Решение:
      Возьмем шаг h = 0.2 . Используя расчетную формулу Эйлера, найдем
приближенное решение задачи Коши:
                                           ˙
         y 1= y 00.2  y 0−x 0 =1.50.2 1.5=1.8
         y 2= y 10.2  y 1−x 1 =1.80.21.8−0.2=2.12
         y 3= y 20.2 y 2− x 2=2.120.2 2.12−0.4=2.464
        Таким образом, получили численное решение задачи:
 xi                  0              0.2           0.4                0.6
 yi                  1.5            1.8           2.12               2.464
         Графиком приближенного решения является ломаная, последователь-
но соединяющая точки ( x i , y i ) .
         В этой задаче легко находится точное решение, например, методом ва-
риации постоянной: y t=0.5e t t1 . Вычислим значения точного решения
в указанных точках.
ti                   0              0.2           0.4               0.6
y (ti )              1.5            1.811         2.146             2.511
         Абсолютную погрешность вычислим так: ri = y (ti ) − yi . Тогда r1 = 0.011 ,
r2 = 0.026 , r3 = 0.047 . Таким образом, максимальная величина погрешности
равна R ≈ 0.05 .
                                2.2.2. Метод Эйлера-Коши
      Отличительная особенность метода Эйлера-Коши от метода Эйлера
заключается в том, что значение правой части уравнения вычисляется не
                                                                                                         h
только в точках сетки (шаг h ), но и также в середине отрезков (шаг                                      2
                                                                                                           )
(промежуточных точках).
      Предположим, что приближенное значение y i решения задачи в точ-
ке x= x i уже известно, y i1 вычисляются по следующим формулам:
                       y i1= y i  y i , y i = y i1 y i2 ,
                                h                          h
                       y i1=     f  x i , yi  ,  y i2 = f  x ih , y ih f  x i , y i 
                                2                          2
        Отсюда вычисляют
                                           f  xi , y i f  x i1 , y ihf  x i , y i 
                         y i1= y ih                                                       .        (2.8)
                                                                 2
      Геометрическая интерпретация метода Эйлера-Коши: определяется
направление интегральной кривой в исходной точке  x i , y i  и во вспомога-
тельной точке  x i1 , y oi1  , y oi1= y 1hf  x i , y i  , а в качестве окончательного
выбирается среднее из этих направлений.

                                                      52

Страницы