Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

3
§1. Явный метод Эйлера
В настоящем параграфе излагается универсальный метод приближенного
решения задачи Коши
)2(.)x(y
)1(,Xxxx)),x(y,x(f)x(y
0
00
ϕ
=
+
≤
≤=
′
Напомним, что под решением такой задачи понимается функция y(x),
заданная на отрезке [x
0
, x
0
+ X] (X > 0, X – длина отрезка интегрирования),
обладающая в каждой точке этого отрезка производной, удовлетворяющая в
каждой точке отрезка уравнению (1), а при x = x
0
– дополнительному
(«начальному») условию (2).
Существование и единственность такого решения мы, естественно,
предполагаем. Кроме того, чтобы гарантировать существование и
приближенного решения, условимся считать, что правая часть f(x,y) уравнения
(1) определена в любой точке
)y,x(
∗∗
полосы, заданной на плоскости
переменных x, y неравенствами x
0
≤ x ≤ x
0
+X (рис. 1).
Зададимся натуральным N и разделим (рис. 2) отрезок интегрирования
[x
0
, x
0
+ X] на N равных частей длины
)
3
(
N
/Xh =
точками
)4(.N,,1,0i,ihxx
0i
K=+=
Дискретное множество точек (4) назовем сеткой на отрезке [x
0
, x
0
+ X], а
сами точки x
i
– узлами этой сетки.
Расстояние между узлами сетки с соседними номерами равно длине (3)
частичного отрезка разбиения [x
i
, x
i+1
]; эта величина называется шагом сетки
(рис. 3). При неограниченном увеличении N шаг сетки стремится к нулю:
)
5
(
,
N
при0h ∞→→
и сетка становится все более и более густой. 
                                                3

                                  §1. Явный метод Эйлера

     В настоящем параграфе излагается универсальный метод приближенного
решения задачи Коши

      y ′( x ) = f ( x , y( x )), x0 ≤ x ≤ x0 + X ,                       (1)
      y( x0 ) = ϕ .                                                       (2)

     Напомним, что под решением такой задачи понимается функция y(x),
заданная на отрезке [x0, x0 + X] (X > 0, X – длина отрезка интегрирования),
обладающая в каждой точке этого отрезка производной, удовлетворяющая в
каждой точке отрезка уравнению (1), а при x = x0 – дополнительному
(«начальному») условию (2).
     Существование и единственность такого решения мы, естественно,
предполагаем. Кроме того, чтобы гарантировать существование и
приближенного решения, условимся считать, что правая часть f(x,y) уравнения
(1) определена в любой точке ( x∗ , y∗ ) полосы, заданной на плоскости
переменных x, y неравенствами x0 ≤ x ≤ x0+X (рис. 1).




       Зададимся натуральным N и разделим (рис. 2) отрезок интегрирования
[x0, x0 + X] на N равных частей длины
        h= X /N                                                           (3)
точками
        xi = x0 + ih , i = 0 , 1, K , N .                                 (4)
Дискретное множество точек (4) назовем сеткой на отрезке [x0, x0 + X], а
сами точки xi – узлами этой сетки.
       Расстояние между узлами сетки с соседними номерами равно длине (3)
частичного отрезка разбиения [xi, xi+1]; эта величина называется шагом сетки
(рис. 3). При неограниченном увеличении N шаг сетки стремится к нулю:
        h→0        при    N → ∞,                                          (5)
и сетка становится все более и более густой.

Страницы