Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
значений неизвестных y
i
, найденных из системы скалярных уравнений (9) –
(10), называют сеточным решением, а общий член y
i
этой последовательности –
значением сеточного решения в узле x
i
.
В начальном узле x
0
сеточное решение совпадает с решением
дифференциальной задачи:
y
0
= φ = y(x
0
),
а в остальных узлах сетки, вообще говоря, является лишь приближением к
нему:
y
i
≈ y(x
i
), i = 1, 2, … , N.
Лемма 1
. Система (9)–(10) имеет (и притом единственное) решение.
Доказательство.
Перепишем уравнение (9) в виде:
)11(.1N,,1,0i),y,x(hfyy
iii1i
−
=
+=
+
K
В силу сделанного предположения об области определения функции f
правая часть равенства (11) определена при любом вещественном y
i
, а потому
это равенство представляет собой формулу, позволяющую вычислить сеточное
решение в узле x
i+1
по сеточному решению в предыдущем узле x
i
. А так как в
силу (10) сеточное решение в узле x
0
известно, последовательное применение
формулы (11) позволяет вычислить друг за другом (и притом однозначно) все
неизвестные y
1
, y
2
, …, y
N
.
Замечание 2
. Описанный только что алгоритм нахождения сеточного
решения
)12(
1N,,1,0i),y,x(hfyy
,заданоy
iii1i
0
⎩
⎨
⎧
−=+=
−
+
K
называется явным методом Эйлера по имени швейцарского математика
Леонарда Эйлера (1707–1783), предложившего этот алгоритм в 1768 г. Наличие
эпитета «явный» в этом наименовании связано с тем, что уравнение (9) может
быть разрешено относительно y
i+1
, в результате чего получается явная
формула (11) для вычисления сеточного решения y
i+1
по ранее вычисленному
сеточному решению y
i
в предыдущем узле x
i
.
Для дальнейшего полезно дать алгоритму (11) геометрическую
интерпретацию. Это потребует от нас дополнительного предположения о
множестве решений дифференциального уравнения (1). А именно, мы
предположим, что через любую внутреннюю точку (x
*
, y
*
) полосы x
0
≤ x ≤ x
0
+
+X (рис. 1) проходит интегральная кривая этого уравнения или, другими
словами, что при любом x
*
из открытого интервала (x
0
, x
0
+ X) и любом
вещественном y
*
локально разрешима задача Коши:
⎩
⎨
⎧
=
=
′
∗∗
y)x(y
)),x(y,x(f)x(y
                                                       5
значений неизвестных yi, найденных из системы скалярных уравнений (9) –
(10), называют сеточным решением, а общий член yi этой последовательности –
значением сеточного решения в узле xi.
       В начальном узле        x0    сеточное решение совпадает с решением
дифференциальной задачи:
                           y0 = φ = y(x0),
а в остальных узлах сетки, вообще говоря, является лишь приближением к
нему:
                    yi ≈ y(xi), i = 1, 2, , N.
       Лемма 1. Система (9)–(10) имеет (и притом единственное) решение.
       Доказательство. Перепишем уравнение (9) в виде:

     yi + 1 = yi + hf ( xi , yi ),         i = 0 , 1, K , N − 1.       ( 11 )

      В силу сделанного предположения об области определения функции f
правая часть равенства (11) определена при любом вещественном yi , а потому
это равенство представляет собой формулу, позволяющую вычислить сеточное
решение в узле xi+1 по сеточному решению в предыдущем узле xi . А так как в
силу (10) сеточное решение в узле x0 известно, последовательное применение
формулы (11) позволяет вычислить друг за другом (и притом однозначно) все
неизвестные y1, y2, , yN .
      Замечание 2. Описанный только что алгоритм нахождения сеточного
решения

     ⎧ y0 − задано ,
     ⎨                                                                 ( 12 )
     ⎩ yi + 1 = yi + hf ( xi , yi ),        i = 0 , 1, K , N − 1

называется явным методом Эйлера по имени швейцарского математика
Леонарда Эйлера (1707–1783), предложившего этот алгоритм в 1768 г. Наличие
эпитета «явный» в этом наименовании связано с тем, что уравнение (9) может
быть разрешено относительно yi+1 , в результате чего получается явная
формула (11) для вычисления сеточного решения yi+1 по ранее вычисленному
сеточному решению yi в предыдущем узле xi .
     Для дальнейшего полезно дать алгоритму (11) геометрическую
интерпретацию. Это потребует от нас дополнительного предположения о
множестве решений дифференциального уравнения          (1). А именно, мы
предположим, что через любую внутреннюю точку (x*, y*) полосы x0 ≤ x ≤ x0 +
+X (рис. 1) проходит интегральная кривая этого уравнения или, другими
словами, что при любом x* из открытого интервала (x0, x0 + X) и любом
вещественном y* локально разрешима задача Коши:

                                       ⎧ y ′( x ) = f ( x , y( x )),
                                       ⎨
                                       ⎩ y( x∗ ) = y∗

Страницы