Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
(как известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений [1] для
этого достаточно предположить непрерывность функции f по совокупности
переменных x, y в любой точке полосы).
Замечание 3
. С геометрической точки зрения суть явного метода Эйлера
состоит в замене на интервале [x
i
, x
i+1
] графика искомого решения y отрезком
касательной к некоторому близкому решению того же дифференциального
уравнения.
Если бы точное значение y(x
i
) решения y в узле x
i
было бы известно, то
в качестве такого отрезка следовало бы взять отрезок касательной,
проведенной к самому решению y в точке x
i
(рис. 4).
Однако вместо величины y(x
i
) мы знаем лишь ее приближенное значение y
i
и
потому вынуждены проводить касательную не через точку (x
i
, y(x
i
)) к графику
искомого решения y, а через точку (x
i
, y
i
) к вспомогательному решению y
(i)
того же дифференциального уравнения, график которого проходит через
упомянутую точку (рис. 5).
Покажем, что ордината точки пересечения этой касательной с прямой,
проходящей через узел x
i+1
параллельно оси ординат, в точности равна
величине y
i+1
, вычисленной по формуле (11).
В самом деле, пусть x – абсцисса произвольной точки указанной
касательной,
)(
~
x
y
− ордината этой точки, а α
i
– угол, который образует эта
касательная с осью x (рис. 5). Имеем:
)13(y)xx)(tg()x(y
~
iii
+
−
=
α
(мы выписали уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tgα
i
,
проходящей через точку (x
i
, y
i
)).
Поскольку прямая (13) касается графика функции y
(i)
в точке с
абсциссой x=x
i
, в силу геометрического смысла производной имеем:
)14(),x()'y(tg
i
)i(
i
=
α
а так как y
(i)
есть решение задачи Коши
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
′
)16(,y)x(y
)15()),x(y,x(f)x()y(
ii
)i(
)i()i(
для величины (14) получаем 
                                                           6
(как известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений [1] для
этого достаточно предположить непрерывность функции f по совокупности
переменных x, y в любой точке полосы).
      Замечание 3. С геометрической точки зрения суть явного метода Эйлера
состоит в замене на интервале [xi, xi+1] графика искомого решения y отрезком
касательной к некоторому близкому решению того же дифференциального
уравнения.
      Если бы точное значение y(xi) решения y в узле xi было бы известно, то
в качестве     такого отрезка     следовало бы взять отрезок касательной,
проведенной к самому решению y в точке xi (рис. 4).




Однако вместо величины y(xi) мы знаем лишь ее приближенное значение yi и
потому вынуждены проводить касательную не через точку (xi, y(xi)) к графику
искомого решения y, а через точку (xi, yi) к вспомогательному решению y(i)
того же дифференциального уравнения, график которого проходит через
упомянутую точку (рис. 5).
      Покажем, что ордината точки пересечения этой касательной с прямой,
проходящей через узел xi+1 параллельно оси ординат, в точности равна
величине yi+1, вычисленной по формуле (11).
      В самом деле, пусть x – абсцисса произвольной точки указанной
касательной, ~y ( x) − ордината этой точки, а αi – угол, который образует эта
касательная с осью x (рис. 5). Имеем:
                     ~y ( x ) = ( tgα )( x − x ) + y                      ( 13 )
                                     i        i      i
 (мы выписали уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tgαi,
проходящей через точку (xi, yi)).
      Поскольку прямая (13) касается графика функции y(i) в точке с
абсциссой x=xi , в силу геометрического смысла производной имеем:
                           tgα i = ( y ( i ) )' ( xi ),                    ( 14 )
              (i)
а так как y         есть решение задачи Коши

                          ⎧⎪( y ( i ) )′( x ) = f ( x , y ( i ) ( x )),    ( 15 )
                           ⎨ (i )
                           ⎪⎩ y ( xi ) = yi ,                              ( 16 )

для величины (14) получаем

Страницы