Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
).y,x(f))x(y,x(ftg
iii
)i(
ii
==
α
Поэтому уравнение касательной (13) фактически имеет вид:
)17(.y)xx)(y,x(f)x(y
~
iiii
+
−
=
Чтобы найти ординату точки пересечения этой касательной с прямой,
проходящей через узел x
i+1
параллельно оси ординат, в выражении (17)
следует положить x=x
i+1
. В результате этой подстановки получится величина
,))(,()(
~
ii1iii1i
yxxyxfxy
+
−
=
++
равная ввиду соотношения
x
i+1
– x
i
=h
величине y
i+1
из формулы (11).
Вывод 4
. Для нахождения сеточного решения в узле x
i+1
следует через
точку плоскости (x
i
, y
i
) провести касательную к графику решения y
(i)
вспомогательной задачи Коши (15)–(16) и взять в качестве сеточного решения
y
i+1
ординату точки пересечения этой касательной с прямой, проходящей через
узел x
i+1
параллельно оси ординат.
Замечание 5
. На первом шаге алгоритма, то есть при отыскании сеточного
решения y
1
в узле x
1
по заданному сеточному решению y
0
в узле x
0
,
касательная фактически проводится к графику искомого решения y (рис. 6). На
всех же остальных шагах алгоритма касательные, вообще говоря, проводятся к
другим решениям уравнения (1), а именно – к решениям вспомогательных
задач Коши (15)–(16) для того же дифференциального уравнения.
Замечание 6
. Если отложить последовательно на чертеже отрезки
упомянутых касательных, то получится ломаная, которую естественно
рассматривать как приближение к графику искомого решения y (рис. 6). По
этой причине явный метод Эйлера называют также явным методом ломаных
Эйлера.
Замечание 7
. Если вместо сеточного приближения (7) для замены
производной y′(x
i
) в равенстве (6) воспользоваться другим сеточным
приближением:
,
h
)x(y)x(y
h
)x(y)hx(y
1iiii −
−
=
−
−−
то получим другую систему уравнений: 
                                             7


                                tgα i = f ( xi , y ( i ) ( xi )) = f ( xi , yi ).
Поэтому уравнение касательной (13) фактически имеет вид:
                 ~y ( x ) = f ( x , y )( x − x ) + y .                            ( 17 )
                                  i i           i          i
      Чтобы найти ординату точки пересечения этой касательной с прямой,
проходящей через узел xi+1 параллельно оси ординат, в выражении (17)
следует положить x=xi+1 . В результате этой подстановки получится величина
                            ~y ( x ) = f ( x , y )( x − x ) + y ,
                                  i +1        i i           i +1   i        i
равная ввиду соотношения
                                       xi+1 – xi =h
величине yi+1 из формулы (11).
      Вывод 4. Для нахождения сеточного решения в узле xi+1 следует через
точку плоскости (xi, yi) провести касательную к графику решения y(i)
вспомогательной задачи Коши (15)–(16) и взять в качестве сеточного решения
yi+1 ординату точки пересечения этой касательной с прямой, проходящей через
узел xi+1 параллельно оси ординат.
      Замечание 5. На первом шаге алгоритма, то есть при отыскании сеточного
решения y1 в узле x1 по заданному сеточному решению y0 в узле x0,
касательная фактически проводится к графику искомого решения y (рис. 6). На
всех же остальных шагах алгоритма касательные, вообще говоря, проводятся к
другим решениям уравнения (1), а именно – к решениям вспомогательных
задач Коши (15)–(16) для того же дифференциального уравнения.
      Замечание 6. Если отложить последовательно на чертеже отрезки
упомянутых касательных, то получится ломаная, которую естественно
рассматривать как приближение к графику искомого решения y (рис. 6). По
этой причине явный метод Эйлера называют также явным методом ломаных
Эйлера.




     Замечание 7. Если вместо сеточного приближения (7) для замены
производной y′(xi) в равенстве (6) воспользоваться другим сеточным
приближением:

                       y( xi − h ) − y( xi ) y( xi ) − y( xi − 1 )
                                            =                      ,
                               −h                     h

то получим другую систему уравнений:

Страницы