Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
Но именно такой является прямая, соединяющая точки (x
i-1
, y
i-1
), (x
i
, y
i
): через
точку (x
i
, y
i
) она проходит по построению, а её угловой коэффициент, как
видно из рис. 7 и формулы (21), равен той же величине:
).y,x(f
h
y))y,x(hfy(
h
yy
k
ii
1iii1i1ii
=
−
+
=
−
=
−−−
Этот факт приводит к следующей геометрической интерпретации i-го шага
неявного метода Эйлера.
Вывод 8
. Для нахождения сеточного решения y
i
по ранее вычисленному
решению y
i-1
следует провести геометрические построения:
а) проводим через узел x
i
прямую l
(i)
, параллельную оси ординат;
б) задаем на этой прямой поле направлений, откладывая в каждой точке
отрезок касательной к проходящему через эту точку графику решения
дифференциального уравнения;
в) проводим через точку (x
i-1
, y
i-1
) прямую l с таким расчетом, чтобы
она пересекала прямую l
(i)
, совпадая с отрезком касательной в точке
пересечения.
Ордината полученной точки пересечения дает сеточное решение y
i
, а
отрезок прямой l между точкой (x
i-1
, y
i-1
) и точкой пересечения есть звено
ломаной, приближающее на отрезке [x
i-1
, x
i
] график искомого решения задачи
Коши (1)–(2) (рис. 8).
Замечание 9
. Описанные методы Эйлера применимы не только в случае
задачи Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения
первого порядка, но и в случае задачи Коши для системы из n таких
уравнений:
.n,,2,1k,)x(y
,n,,2,1k,Xxxx)),x(y,),x(y),x(y,x(f)x()y(
k0k
00n21kk
K
KK
==
=
+
≤
≤
=
′
ϕ
                                                            9




Но именно такой является прямая, соединяющая точки (xi-1, yi-1 ), (xi , yi ): через
точку (xi, yi ) она проходит по построению, а её угловой коэффициент, как
видно из рис. 7 и формулы (21), равен той же величине:
                     y − yi −1 ( yi −1 + hf ( xi , yi )) − yi −1
                 k= i         =                                  = f ( xi , yi ).
                        h                     h
Этот факт приводит к следующей геометрической интерпретации i-го шага
неявного метода Эйлера.
      Вывод 8. Для нахождения сеточного решения yi по ранее вычисленному
решению yi-1 следует провести геометрические построения:
     а) проводим через узел xi прямую l(i), параллельную оси ординат;
      б) задаем на этой прямой поле направлений, откладывая в каждой точке
      отрезок касательной к проходящему через эту точку графику решения
      дифференциального уравнения;
      в) проводим через точку (xi-1, yi-1 ) прямую l с таким расчетом, чтобы
      она пересекала прямую l(i), совпадая с отрезком касательной в точке
      пересечения.
      Ордината полученной точки пересечения дает сеточное решение yi , а
отрезок прямой l между точкой (xi-1, yi-1 ) и точкой пересечения есть звено
ломаной, приближающее на отрезке [xi-1 , xi ] график искомого решения задачи
Коши (1)–(2) (рис. 8).




     Замечание 9. Описанные методы Эйлера применимы не только в случае
задачи Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения
первого порядка, но и в случае задачи Коши для системы из n      таких
уравнений:

( y k )′( x ) = f k ( x , y1 ( x ), y 2 ( x ),K , y n ( x )),   x0 ≤ x ≤ x0 + X , k = 1, 2 , K , n ,
y k ( x0 ) = ϕ k , k = 1, 2 , K , n.

Страницы