Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Явный метод Эйлера задается в этом случае соотношениями:
⎩
⎨
⎧
−==+=
−
+
,1N,,1,0i,n,,2,1k),y,,y,y,x(hfyy
,заданыy,,y,y
i,ni,i,iki,k1i,k
,n,,
21
00201
KKK
K
а неявный метод Эйлера – соотношениями:
⎩
⎨
⎧
==+=
−
−
,N,,2,1i,n,,2,1k),y,y,y,x(hfyy
,заданыy,,y,y
i,ni,i,i1i,ki,k
,n,,
21
00201
KKK
K
где через
y
k,i
обозначено сеточное приближение для значения
k
-й неизвестной
функции
y
k
в узле
x
i
.
Впрочем, эти расчетные формулы можно было бы и не выписывать, а
использовать формулы
(12), (21),
понимая фигурирующие в них обозначения в
векторном смысле.
Упражнение 10
. Выписать расчетные формулы явного и неявного
методов Эйлера в случае задачи Коши для системы
.1)0(y)0(y
,1x0)),x(y))(x(y()x('y
,))x(y())x(y()x('y
21
212
2
2
2
11
==
≤≤=
+=
Решение
. Расчетные формулы явного метода Эйлера имеют вид:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+=
−=++=
==
+
+
)23(.1N,,1,0i),y)(y(hyy
)22(,1N,,1,0i),)y()y((hyy
,1yy
i,2i,1i,21i,2
2
i,2
2
i,1i,11i,1
0,20,1
K
K
Вычисления по этим расчетным формулам проводятся в цикле по
i
: после того
как сеточные решения
y
1,i
, y
2,i
в узле
x
i
найдены, с помощью пары расчетных
формул
(22), (23),
отвечающей этому значению
i
, находятся сеточные решения
y
1,i+1
, y
2,i+1
в следующем узле.
В случае неявного метода Эйлера имеем расчетные формулы:
Они также используются в цикле по
i
: после того как найдены сеточные
решения
y
1,i-1
, y
2,i-1
,
пара формул
(24), (25),
отвечающая этому значению
i,
рассматривается как система двух скалярных уравнений относительно
неизвестных
y
1,i
, y
2,i
и относительно этих неизвестных решается.
Замечание 11
. На основании анализа проделанного упражнения читатель
мог заметить, что каждый шаг неявного метода Эйлера требует, вообще говоря,
большего объема вычислительной работы, чем шаг явного метода, поскольку в
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+=
=++=
==
−
−
)25(.N,,2,1i),y)(y(hyy
)24(,N,,2,1i),)y()y((hyy
,1yy
i,2i,11i,2i,2
2
i,2
2
i,11i,1i,1
0,20,1
K
K
                                                        10
Явный метод Эйлера задается в этом случае соотношениями:

⎧ y1,0 , y 2 ,0 , K , yn ,0 − заданы,
⎨
⎩ y k ,i + 1 = y k ,i + hf k ( xi , y1,i , y 2 ,i ,K , y n ,i ), k = 1, 2 , K , n , i = 0 , 1, K , N − 1,

а неявный метод Эйлера – соотношениями:

⎧ y1,0 , y 2 ,0 ,K , y n ,0 − заданы,
⎨
⎩ y k ,i = y k ,i −1 + hf ( xi , y1,i , y 2 ,i ,K y n ,i ), k = 1, 2 , K , n , i = 1, 2 , K , N ,

где через yk,i обозначено сеточное приближение для значения k-й неизвестной
функции yk в узле xi .
      Впрочем, эти расчетные формулы можно было бы и не выписывать, а
использовать формулы (12), (21), понимая фигурирующие в них обозначения в
векторном смысле.
      Упражнение 10. Выписать расчетные формулы явного и неявного
методов Эйлера в случае задачи Коши для системы
            y1 ' ( x ) = ( y1 ( x ))2 + ( y 2 ( x ))2 ,
                 y 2 ' ( x ) = ( y1 ( x ))( y 2 ( x )), 0 ≤ x ≤ 1,
                 y1 ( 0 ) = y 2 ( 0 ) = 1.
       Решение. Расчетные формулы явного метода Эйлера имеют вид:
⎧ y1,0 = y 2 ,0 = 1,
⎪                               2          2
⎨ y1,i + 1 = y1,i + h(( y1,i ) + ( y 2 ,i ) ), i = 0 , 1, K , N − 1,  ( 22 )
⎪y
⎩ 2 ,i + 1 = y 2 ,i + h( y1,i )( y 2 ,i ),     i = 0 ,1, K , N − 1.   ( 23 )
Вычисления по этим расчетным формулам проводятся в цикле по i: после того
как сеточные решения y1,i, y2,i в узле xi найдены, с помощью пары расчетных
формул (22), (23), отвечающей этому значению i, находятся сеточные решения
y1,i+1, y2,i+1 в следующем узле.
         В случае неявного метода Эйлера имеем расчетные формулы:
⎧ y1,0 = y 2 ,0 = 1,
⎪                              2           2
⎨ y1,i = y1,i − 1 + h(( y1,i ) + ( y 2 ,i ) ), i = 1, 2 , K , N ,                                           ( 24 )
⎪y = y
⎩ 2 ,i    2 ,i − 1 + h( y1,i )( y 2 ,i ),      i = 1,2 , K , N .                                            ( 25 )
Они также используются в цикле по i: после того как найдены сеточные
решения y1,i-1, y2,i-1 , пара формул (24), (25), отвечающая этому значению i,
рассматривается как система двух скалярных уравнений относительно
неизвестных y1,i , y2,i и относительно этих неизвестных решается.
      Замечание 11. На основании анализа проделанного упражнения читатель
мог заметить, что каждый шаг неявного метода Эйлера требует, вообще говоря,
большего объема вычислительной работы, чем шаг явного метода, поскольку в

Страницы