Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
Кроме того, те же требования непрерывности по совокупности
переменных мы наложим и на частные производные правой части
f,
предположив также и ограниченность этих производных в полосе:
[
]
[]
)(.,),('
)(,,),('
31RyлюбогоиXxxxлюбогодляMyxf
30RyлюбогоиXxxxлюбогодляMyxf
003y
002x
∈+∈≤
∈+∈≤
Константы
M
1
, M
2
, M
3
в формулах
(29)–(31)
– конечные вещественные
числа, одни и те же для всех точек полосы.
Пусть
y
i
, y
i+1
–
сеточные решения в узлах
x
i
, x
i+1
,
найденные явным
методом Эйлера, а
y
(i)
–
вспомогательное решение дифференциального
уравнения
(1),
график которого проходит (рис. 9) через точку
(x
i
, y
i
)
(т.е.
решение задачи Коши
(15)–(16)
).
Вводя в рассмотрение значение
y
(i)
(x
i+1
)
вспомогательного решения
y
(i)
в узле
x
i+1
,
выражение для погрешности сеточного решения в этом узле
1i1i1i
yxy
+++
−
=
)(
ε
можно представить в виде:
),)(()()((
)()(
1i1i
i
1i
i
1i1i
yxyxyxy
+++++
−+−=
ε
т.е. в виде суммы двух слагаемых:
)32(,
)2(
1i
)1(
1i
1i
+
+
+
+=
εεε
где первое слагаемое имеет вид:
)33(,)x(y)x(y
1i
)i(
1i
)1(
1i
++
+
−=
ε
а второе – вид:
)34(.y)x(y
1i1i
)i(
)2(
1i
++
+
−=
ε
Поясним смысл слагаемых (33), (34).
С геометрической точки зрения рассматриваемый шаг алгоритма явного
метода Эйлера состоит (рис. 9) в замене графика искомого решения
y на
отрезке
[x
i
, x
i+1
] отрезком касательной к графику вспомогательного решения y
(i)
.
Этот процесс можно считать осуществляемым в два этапа. На первом этапе 
                                                     12
Кроме того, те же требования непрерывности             по   совокупности
переменных мы наложим и на частные производные правой части f,
предположив также и ограниченность этих производных в полосе:

 f x ' ( x, y ) ≤ M 2   для любого        x ∈ [x0 , x0 + X ] и любого       y ∈ R,        (30 )


 f y ' ( x, y ) ≤ M 3   для любого        x ∈ [x0 , x0 + X ] и любого       y ∈ R.        (31)

     Константы M1 , M2 , M3 в формулах (29)–(31) – конечные вещественные
числа, одни и те же для всех точек полосы.
     Пусть yi, yi+1 – сеточные решения в узлах xi, xi+1, найденные явным
методом Эйлера, а y(i) – вспомогательное решение дифференциального
уравнения (1), график которого проходит (рис. 9) через точку (xi , yi ) (т.е.
решение задачи Коши (15)–(16)).




Вводя в        рассмотрение значение y(i)(xi+1) вспомогательного решения y(i)
в узле xi+1, выражение для погрешности сеточного решения в этом узле
                                  ε i + 1 = y ( xi + 1 ) − yi + 1
можно представить в виде:
                  ε i + 1 = ( y ( xi + 1 ) − y (i ) ( xi + 1 ) + ( y (i ) ( xi + 1 ) − yi + 1 ),
т.е. в виде суммы двух слагаемых:
                            ε i + 1 = ε i(+11) + ε i(+21) ,                               ( 32 )
где первое слагаемое имеет вид:
                            ε i(+11) = y( xi + 1 ) − y ( i ) ( xi + 1 ) ,                 ( 33 )
а второе – вид:
                            ε i(+21) = y ( i ) ( xi + 1 ) − yi + 1 .                       ( 34 )
      Поясним смысл слагаемых (33), (34).
      С геометрической точки зрения рассматриваемый шаг алгоритма явного
метода Эйлера состоит (рис. 9) в замене графика искомого решения y          на
отрезке [xi, xi+1] отрезком касательной к графику вспомогательного решения y(i).
Этот процесс можно считать осуществляемым в два этапа. На первом этапе

Страницы