Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 11 стр.

                                                        11
неявном случае вместо вычислений по явным       формулам      приходится
применять сложную процедуру решения скалярной системы уравнений, и
сделать вывод о нецелесообразности использования неявного метода. Однако
такой вывод был бы поспешным. Дело в том, что при приближенном
нахождении решения задачи Коши с требуемой точностью общий объем
вычислительной работы определяется не только трудоемкостью проведения
шага алгоритма, но и количеством этих шагов. Имеется важный класс систем
(«жесткие» системы дифференциальных уравнений), у которых ввиду их
специфики требуемая точность сеточного решения при использовании явного
метода достигается лишь при очень малом шаге сетки, тогда как при
использовании неявного метода требуемая близость приближенного и точного
решений имеет место при гораздо более крупных шагах. В этой ситуации
неявный метод может потребовать меньшего суммарного количества
арифметических операций за счет меньшего количества шагов.

                        § 2. Сходимость явного метода Эйлера

     Пусть y(xi ) – решение задачи Коши (1)–(2) в узле xi , а yi – сеточное
решение в этом узле, найденное явным методом Эйлера. Величина

                        ε i = y( xi ) − yi , i = 0 , 1, K , N                                ( 26 )

есть погрешность сеточного решения в узле xi , а величина

                         ε i = y( xi ) − yi , i = 0 , 1, K , N                               ( 27 )


есть абсолютная погрешность сеточного решения в этом узле.
      Возникает вопрос, стремятся ли величины (27) к нулю при стремлении
шага сетки к нулю:

                             max            εi → 0       при      h → 0,                    ( 28 )
                         i = 0 , 1, K , N


то есть стремятся ли они к нулю при неограниченном измельчении сетки?
      При изучении этого вопроса мы наложим дополнительные условия на
правую часть       f   уравнения     (1), которые обеспечат существование,
единственность и гладкость на отрезке [x0 , x0 +X] нужных нам решений этого
уравнения. А именно, будем считать, что функция f не только непрерывна по
совокупности переменных в полосе, заданной на плоскости переменных x, y
неравенствами x0 ≤ x ≤ x0 + X , но и ограничена в этой полосе:

     f ( x, y ) ≤ M 1          для любого            x ∈ [x0 , x0 + X ] и любого   y ∈ R.   ( 29 )