Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 13 стр.

                                        13
график искомого решения                y заменяется                графиком
                               (i)
вспомогательного решения y , в результате чего искомое значение y(xi+1)
заменяется его вспомогательным приближением y(i)(xi+1) с погрешностью (33).
На втором этапе график вспомогательного решения y(i) в свою очередь
заменяем более простой линией – касательной к этому графику, в результате
чего приближение y(i)(xi+!) заменяется приближением yi+1 с добавочной
погрешностью (34).
       Слагаемое    (34), характеризующее      погрешность замены графика
вспомогательного решения касательной к нему, представляет собой ту
дополнительную погрешность, которая вносится именно на этом (i+1)-м шаге
алгоритма; поэтому она называется локальной погрешностью, допущенной
нами на (i + 1)-м шаге, или, короче, локальной погрешностью (i+1)-го шага.
        Слагаемое же (33) имеет другое происхождение. Оно возникает из-за
того, что сеточное решение yi в предыдущем узле xi отличается от точного
решения y(xi) (если бы эти значения совпадали, то вспомогательное решение
y(i) по теореме единственности решения совпало бы с искомым решением y, и
слагаемое (33) было бы равно нулю). А так как отличие величин yi, y(xi)
порождено в конечном итоге локальными погрешностями, допущенными на
предшествующих шагах алгоритма, погрешность (33) естественно назвать
накопленной погрешностью (i + 1)-го шага.
       Замечание 12. На первом шаге алгоритма, т.е. при нахождении сеточного
решения y1 по заданному y0, касательная фактически проводится к искомому
решению (рис. 6), так что накопленная погрешность отсутствует, и полная
погрешность сеточного решения ε1 в узле x1 совпадает с локальной
погрешностью ε1(2) первого шага. Начиная же со следующего шага, отличными,
вообще говоря, от нуля оказываются обе эти погрешности.
       А именно, на втором шаге имеются и локальная погрешность ε2(2), и
накопленная погрешность        ε2(1), возникшая по той причине, что из-за
допущенной на первом шаге локальной погрешности сеточное решение y1
оказывается отличным от точного решения y(x1), а потому отличными друг от
друга оказываются вспомогательное решение y(1) и искомое решение y.
       Аналогично, на третьем шаге алгоритма, кроме ненулевой, вообще
говоря, локальной погрешности ε3(2), имеется тоже, вообще говоря, ненулевая
накопленная погрешность ε3(1), возникновение которой вызвано отличием
сеточного решения y2 в узле x2 от точного решения y(x2), т.е. наличием у
сеточного решения y2 погрешности
                              ε 2 = ε 2(1) + ε 2( 2) .
Второе из этих слагаемых есть локальная погрешность, допущенная на втором
шаге, а первое – накопленная погрешность второго шага, являющаяся, как мы
только что выяснили, следствием допущенной на первом шаге локальной
погрешности ε1(2). Поэтому накопленную погрешность третьего шага можно
считать     следствием   локальных     погрешностей,    допущенных      на
предшествующих первом и втором шагах алгоритма, и так далее.
      Вывод 13. Погрешность сеточного решения yi+1 в узле xi+1, найденного
на (i +1)-м шаге алгоритма, есть сумма (32) двух составляющих (33), (34),