Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
(
)
)41().MMM(M
132
2
1
+
=
Другими словами, модули всех локальных погрешностей оцениваются сверху
бесконечно малой второго порядка малости по
h.
Переходим теперь к исследованию накопленной погрешности.
Поскольку, как было сказано выше, своим возникновением погрешность
)(1
1i+
ε
обязана наличию ненулевой погрешности
ε
i
сеточного решения в узле
x
i
,
постараемся выразить
)(1
1i
+
ε
через
ε
i
.
Заметим (рис. 9), что величина
ε
i
есть
разность двух решений
y, y
(i)
дифференциального уравнения
(1)
в точке
x
i
, а
величина
)(1
1i+
ε
есть разность тех же решений в точке
x
i+1
.
Поэтому естественно
опереться на следующий факт из теории дифференциальных уравнений.
Лемма 17
. Пусть
y
I
, y
II
–
два решения дифференциального уравнения
(1),
а
α, β (α < β) –
две точки отрезка
[x
0
, x
0
+X]
(рис. 10). Тогда разности этих
решений в точках
α, β
связаны соотношением:
)42(,e))(y)(y()(y)(y
dx))x(y,x(f
IIIIII
y
∫
⋅−=−
′
β
α
ααββ
(
где
)(
x
y
(
− значение, промежуточное между
y
I
(x), y
II
(x)
.
Доказательство
. Пусть величина
)43()x(y)x(y)x(z
III
−=
есть разность этих решений. Выясним, какому дифференциальному уравнению
она удовлетворяет.
Имеем:
)44()).x(y,x(f))x(y,x(f)x(z
III
−=
′
Применим к разности в правой части этого равенства формулу конечных
приращений Лагранжа (по переменной
y
). Получим:
)45()).x(y)x(y())x(y,x(f))x(y,x(f))x(y,x(f
III
y
III
−⋅
′
=−
(
Из формулы
(44)
с учетом
(45), (43)
выводим равенство
)46(),x(z)x(c)x(z
=
′
где через
с
обозначена функция переменной
x
:
)47()).x(y,x(f)x(c
y
(
′
=
Решения
y
I
, y
II
считаем различными (при совпадении
y
I
, y
II
справедливость равенства
(42)
очевидна). Более того, значения этих решений
не могут совпадать ни в одной точке отрезка
[α, β],
поскольку равенство
y
I
(x
*
)= y
II
(x
*
) = y
*
означало бы, что задача Коши для рассматриваемого
дифференциального уравнения с начальным условием
y(x
*
)=y
*
имела бы два
различных решения, а это при наших предположениях относительно правой
части уравнения невозможно. Следовательно, выражение
(43)
не обращается в
ноль, а потому можно, во-первых, переписать равенство
(46)
в виде: 
                                                       15


                           M = (1 2 )( M 2 + M 3 M 1 ).                                                     ( 41 )

Другими словами, модули всех локальных погрешностей оцениваются сверху
бесконечно малой второго порядка малости по h.
     Переходим теперь к исследованию накопленной погрешности.
     Поскольку, как было сказано выше, своим возникновением погрешность
ε i(1+)1 обязана наличию ненулевой погрешности εi сеточного решения в узле xi,
постараемся выразить ε i(1+)1 через εi. Заметим (рис. 9), что величина εi есть
разность двух решений y, y(i) дифференциального уравнения (1) в точке xi, а
величина ε i(1+)1 есть разность тех же решений в точке xi+1. Поэтому естественно
опереться на следующий факт из теории дифференциальных уравнений.
     Лемма 17. Пусть yI, yII – два решения дифференциального уравнения (1),
а α, β (α < β) – две точки отрезка [x0, x0 +X] (рис. 10). Тогда разности этих
решений в точках α, β связаны соотношением:
                                                                       β              (
                                                                           f y′ ( x , y( x ))dx
                 y ( β ) − y ( β ) = ( y ( α ) − y ( α )) ⋅ e ∫α
                   I           II             I           II
                                                                                                  ,          ( 42 )
      (
где y ( x) − значение, промежуточное между yI(x), yII(x).
        Доказательство. Пусть величина
                                      z( x ) = y I ( x ) − y II ( x )                                       ( 43 )
есть разность этих решений. Выясним, какому дифференциальному уравнению
она удовлетворяет.
        Имеем:
                                  z ′( x ) = f ( x , y I ( x )) − f ( x , y II ( x )).                       ( 44 )
Применим к разности в правой части этого равенства формулу конечных
приращений Лагранжа (по переменной y). Получим:
                                                                     (
               f ( x , y I ( x )) − f ( x , y II ( x )) = f y′ ( x , y( x )) ⋅ ( y I ( x ) − y II ( x )).  ( 45 )
        Из формулы (44) с учетом (45), (43) выводим равенство
                                         z ′( x ) = c( x )z( x ),                                          ( 46 )
где через с обозначена функция переменной x:
                                                             (
                                         c( x ) = f y′ ( x , y( x )).                                     ( 47 )
        Решения          yI, yII         считаем различными (при совпадении                               yI, yII
справедливость равенства (42) очевидна). Более того, значения этих решений
не могут совпадать ни в одной точке отрезка [α, β], поскольку равенство
yI(x*)= yII(x*) = y* означало бы, что задача Коши для                                        рассматриваемого
дифференциального уравнения с начальным условием y(x*)=y* имела бы два
различных решения, а это при наших предположениях относительно правой
части уравнения невозможно. Следовательно, выражение (43) не обращается в
ноль, а потому можно, во-первых, переписать равенство (46) в виде:

Страницы