Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
)48(,)x(c
)x(z
)x(z
=
′
и, во-вторых, переписав с помощью
(45)
выражение
(47)
для
c(x)
в виде
,
)()(
)()'()()'(
)()(
))(,())(,(
)(
xyxy
xyxy
xyxy
xyxfxyxf
xc
III
III
III
III
−
−
=
−
−
=
сделать вывод о непрерывности функции
c(x)
как частного двух непрерывных
функций с не обращающимся в ноль знаменателем.
Последний вывод позволяет, взяв от обеих частей дифференциального
уравнения
(48)
определенный интеграл по отрезку
[α, β],
получить равенство
∫∫
=
β
α
β
α
.dx)x(cdx
)x(z
)x('z
Переписывая левый интеграл как интеграл по переменной
z
(естественно, с
пересчетом пределов интегрирования)
∫∫
=
β
α
β
α
dx)x(c
z
dz
)(z
)(z
и вычисляя его по формуле Ньютона – Лейбница, приходим к равенству
ln z(β) – ln z(α)=
∫
β
α
dx)x(c
или, что то же самое, к равенству
ln
∫
=
β
α
α
β
dxxc
z
z
)(
)(
)(
(считаем функцию z положительной, поскольку противоположный случай
сводится к этому перенумерацией решений y
I
, y
II
).
Отсюда по определению логарифма получаем соотношение
∫
=
β
α
α
β
dx)x(c
e
)(z
)(z
или соотношение
.e)(z)(z
dx)x(c
∫
⋅=
β
α
αβ
А это в силу (43), (47) и есть соотношение (42).
Следствие 18
. Накопленная погрешность (i+1)-го шага
)(1
1i
+
ε
оценивается
через погрешность
i
ε
сеточного решения y
i
в узле x
i
согласно неравенству:
)49(,e
i
hM)1(
1i
3
εε
⋅≤
+
где h – шаг сетки, а M
3
– константа из условия (31).
Доказательство
. Примем в формуле (42) в качестве решений y
I
, y
II
искомое решение y и вспомогательное решение y
(i)
, а в качестве α, β – узлы
x
i
, x
i+1
. Поскольку разность этих решений в узле x
i
есть погрешность ε
i
                                          16



                              z ′( x )
                                       = c( x ) ,                        ( 48 )
                              z( x )

и, во-вторых, переписав с помощью (45) выражение (47) для c(x) в виде
        f ( x, y I ( x)) − f ( x, y II ( x)) ( y I )' ( x ) − ( y II )' ( x)
c( x) =           I          II
                                             =        I         II
                                                                             ,
                y ( x) − y ( x)                    y ( x) − y ( x)
сделать вывод о непрерывности функции c(x) как частного двух непрерывных
функций с не обращающимся в ноль знаменателем.
       Последний вывод позволяет, взяв от обеих частей дифференциального
уравнения (48) определенный интеграл по отрезку [α, β], получить равенство
                                           β z' ( x )        β
                                          ∫α z( x )   dx =  ∫α c( x )dx.
Переписывая левый интеграл как интеграл по переменной z (естественно, с
пересчетом пределов интегрирования)
                                              z( β ) dz      β
                                            ∫z( α ) z = ∫α c( x )dx
и вычисляя его по формуле Ньютона – Лейбница, приходим к равенству
                                               β
                        ln z(β) – ln z(α)= ∫ c( x )dx
                                               α
или, что то же самое, к равенству
                               z(β )     β
                            ln        = ∫ c ( x)dx
                               z (α ) α
(считаем функцию z положительной, поскольку противоположный случай
сводится к этому перенумерацией решений yI, yII).
Отсюда по определению логарифма получаем соотношение
                                             β
                                 z( β )    ∫α
                                               c( x )dx
                                        =e
                                 z( α )
или соотношение
                                                     β
                               z( β ) = z( α ) ⋅ e ∫α
                                                      c( x )dx
                                                               .
А это в силу (43), (47) и есть соотношение (42).
      Следствие 18. Накопленная погрешность (i+1)-го шага ε i(1+)1 оценивается
через погрешность ε i сеточного решения yi в узле xi согласно неравенству:
                               ε i(+11) ≤ e M 3 h ⋅ ε i ,                 ( 49 )
где h – шаг сетки, а M3 – константа из условия (31).
       Доказательство. Примем в формуле (42) в качестве решений yI, yII
искомое решение y и вспомогательное решение y(i), а в качестве α, β – узлы
xi, xi+1. Поскольку разность этих решений в узле xi есть погрешность εi

Страницы