Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
сеточного решения y
i
, а разность тех же решений в узле x
i+1
есть
накопленная погрешность (i+1)-го шага
,
)1(
1i
+
ε
из формулы (42) получаем:
.e
dx))x(y,x(f
i
)1(
1i
'
y
∫
⋅=
+
β
α
εε
(
Переход здесь к абсолютным величинам с учетом положительности экспоненты
дает:
.e
1i
x
i
x
'
y
dx))x(y,x(f
i
)1(
1i
∫
⋅=
+
+
(
εε
Оценка (49) следует отсюда в силу цепочки соотношений
hMxxMdxM
dxxyxfdxxyxfdxxyxf
3i1i3
x
x
3
x
x
y
x
x
y
x
x
y
1i
i
1i
i
1i
i
1i
i
=−=≤
≤≤
+
∫
∫∫∫
+
+++
)(
))(,())(,())(,(
'''
(((
и того факта, что экспонента – монотонно возрастающая функция.
Последовательное применение оценок (40), (49) позволяет установить
сходимость явного метода Эйлера.
Теорема 19
. Справедливы неравенства
)50(,N,,1,0i,h)X,M,M,M(C
321i
K=⋅≤
ε
где C – постоянная, которая определяется значениями констант M
1
, M
2
, M
3
из
условий (29)- (31) и длиной отрезка интегрирования X.
Доказательство
. Для погрешности сеточного решения в узле x
0
имеем:
.0
0
=
ε
В узле x
1
накопленная погрешность отсутствует, а потому в силу (40)
получаем:
.hM
2
)2(
1
1
≤=
εε
Далее, для погрешности в узле x
2
с учетом (40), (49) будем иметь:
.hM)1e(
hMhMehMe
2
hM
22
hM
2
1
hM
)2(
2
)1(
2
)2(
2
)1(
2
2
3
33
+=
=+≤+⋅≤+≤+=
εεεεεε
Аналогично, для узла x
3
получим неравенство:
.)(
)(
)()()()(
2
hMhM2
22
hMhM
2
2
hM
2
3
1
3
2
3
1
3
3
hM1ee
hMhM1eehMe
33
333
++≤
≤++≤+≤+≤+=
⋅
εεεεεε
Теперь ясно, что продолжение аналогичных выкладок приведет к
неравенству:
.hM)1eeee(
2
hMhM2hM)2i(hM)1i(
i
3333
+++++≤
⋅−−
K
ε
В правой части полученного неравенства в круглых скобках выписана
сумма членов конечной геометрической прогрессии со знаменателем
.eq
hM
3
=
Пользуясь для такой суммы выражением 
                                                           17
сеточного решения yi, а разность тех же                                 решений             в       узле   xi+1   есть
накопленная погрешность (i+1)-го шага ε i(+11) , из формулы (42) получаем:
                                                                  β '          (
                                = ε i ⋅ e ∫α y
                                            f ( x , y( x ))dx
                                             ε i(+11)         .
Переход здесь к абсолютным величинам с учетом положительности экспоненты
дает:
                                                                   x       '       (
                                                                  ∫xii +1 f y ( x , y( x ))dx
                                             ε i(+11)   = εi ⋅e                                 .
Оценка (49) следует отсюда в силу цепочки соотношений
 x        '      (            x        '      (            x        '      (
∫x i +1 f y ( x, y ( x))dx ≤ ∫x i +1 f y ( x, y ( x))dx ≤ ∫x i +1 f y ( x, y ( x)) dx
  i                            i                             i
      x
≤ ∫x i +1 M 3 dx = M 3 ( xi + 1 − xi ) = M 3 h
      i
и того факта, что экспонента – монотонно возрастающая функция.
        Последовательное применение оценок (40), (49) позволяет установить
сходимость явного метода Эйлера.
        Теорема 19. Справедливы неравенства
 ε i ≤ C( M 1 , M 2 , M 3 , X ) ⋅ h , i = 0 , 1, K , N ,               ( 50 )
где C – постоянная, которая определяется значениями констант M1, M2, M3 из
условий (29)- (31) и длиной отрезка интегрирования X.
        Доказательство. Для погрешности сеточного решения в узле x0 имеем:
                                                 ε 0 = 0.
        В узле x1 накопленная погрешность отсутствует, а потому в силу (40)
получаем:
                                                  ε 1 = ε 1( 2 ) ≤ M h 2 .
          Далее, для погрешности в узле x2 с учетом (40), (49) будем иметь:
           ε 2 = ε 2( 1 ) + ε 2( 2 ) ≤ ε 2( 1 ) + ε 2( 2 ) ≤ e M 3 h ⋅ ε 1 + M h 2 ≤ e M 3 h M h 2 + M h 2 =

           = ( e M 3 h + 1 )M h 2 .
          Аналогично, для узла x3 получим неравенство:
ε 3 = ε 3(1) + ε 3( 2) ≤ ε 3(1) + ε 3( 2) ≤ e M 3 h ε 2 + M h 2 ≤ e M 3 h (e M 3 h + 1) M h 2 + M h 2 ≤

≤ (e 2 ⋅ M 3 h + e M 3 h + 1) M h 2 .
         Теперь ясно, что продолжение                             аналогичных выкладок приведет к
неравенству:
                     ε i ≤ ( e( i − 1 )M 3 h + e( i − 2 )M 3 h + K + e 2 ⋅ M 3 h + e M 3 h + 1 )M h 2 .
     В правой части полученного неравенства в круглых скобках выписана
сумма членов конечной геометрической прогрессии со знаменателем
                               q = eM 3 h .
Пользуясь для такой суммы выражением

Страницы