Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
при числе частичных отрезков разбиения
N,
удовлетворяющем этому
неравенству, абсолютная величина погрешности сеточного решения в любом
узле сетки, как это следует из соотношения
(53),
не будет превышать
ε
*
.
Если же указанные константы неизвестны, а этот случай – наиболее часто
встречающийся на практике, для отыскания требуемого значения
N
пользуются специальным приемом – так называемым
правилом Рунге,
который
позволяет за счет последовательного удвоения числа частичных отрезков
разбиения и сравнения получающихся при этом сеточных решений найти
значение
N,
обеспечивающее требуемую точность.
§ 3. Методы Рунге – Кутты
Описанные в предыдущем параграфе явный и неявный методы Эйлера
принадлежат классу
одношаговых методов.
Так называют методы, расчетные
формулы которых содержат сеточные решения, относящиеся к двум соседним
узлам сетки и которые, следовательно, позволяют найти сеточное решение в
следующем узле по заданному сеточному решению в предыдущем.
Другими примерами одношаговых методов являются
исправленный
и
модифицированный
методы Эйлера.
Исправленный метод Эйлера
задается соотношениями
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+++=
−
++
)54(,1N,,1,0i)),y,x(fhy,x(f)y,x(f(
2
h
yy
,заданоy
iii1iiii1i
0
K
а
модифицированный метод Эйлера –
соотношениями
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+++=
−
+
)55(.1N,,1,0i)),y,x(f
2
h
y,
2
h
x(fhyy
,заданоy
iiiii1i
0
K
Нахождение сеточного решения
y
i+1
по ранее вычисленному решению
y
i
(
(i +1)- й
шаг алгоритма) осуществляется в этих методах в два этапа.
Именно, в случае
исправленного метода Эйлера
сначала с помощью
описанного ранее
явного метода Эйлера
находят предварительное значение
)56()y,x(fhyy
iii1i
+
=
+
сеточного решения в узле
x
i+1
,
а затем уточняют его по формуле:
)57()).y,x(f)y,x(f(
2
h
yy
1i1iiii1i +++
++=
В случае же
модифицированного метода Эйлера
сначала по формуле
явного метода Эйлера
находят вспомогательное сеточное решение
)y,x(f
2
h
yy
iii
2
1
i
+=
+
в промежуточном узле
2
h
xx
i
i
2
1
+=
+
с «полуцелым» номером ,
2
1
i
+ а затем
вычисляют искомое сеточное решение
y
i+1
по формуле: 
                                                  19
при числе частичных отрезков разбиения N, удовлетворяющем этому
неравенству, абсолютная величина погрешности сеточного решения в любом
узле сетки, как это следует из соотношения (53), не будет превышать ε* .
      Если же указанные константы неизвестны, а этот случай – наиболее часто
встречающийся на практике, для отыскания требуемого значения               N
пользуются специальным приемом – так называемым правилом Рунге, который
позволяет за счет последовательного удвоения числа частичных отрезков
разбиения и сравнения получающихся при этом сеточных решений найти
значение N, обеспечивающее требуемую точность.

                               § 3. Методы Рунге – Кутты

           Описанные в предыдущем параграфе явный и неявный методы Эйлера
принадлежат классу одношаговых методов. Так называют методы, расчетные
формулы которых содержат сеточные решения, относящиеся к двум соседним
узлам сетки и которые, следовательно, позволяют найти сеточное решение в
следующем узле по заданному сеточному решению в предыдущем.
           Другими примерами одношаговых методов являются исправленный и
модифицированный методы Эйлера.
           Исправленный метод Эйлера задается соотношениями
⎧ y0 − задано ,
⎪
⎨                 h
⎪⎩ yi + 1 = yi + 2 ( f ( xi , yi ) + f ( xi + 1 , yi + h f ( xi , yi )), i = 0 , 1, K , N − 1,  ( 54 )
а модифицированный метод Эйлера – соотношениями
 ⎧ y0 − задано ,
 ⎪
 ⎨                            h        h
 ⎪⎩ yi + 1 = yi + h f ( xi + 2 , yi + 2 f ( xi , yi )), i = 0 , 1, K , N − 1.                  ( 55 )
           Нахождение сеточного решения yi+1 по ранее вычисленному решению yi
((i +1)- й шаг алгоритма) осуществляется в этих методах в два этапа.
           Именно, в случае исправленного метода Эйлера сначала с помощью
описанного ранее явного метода Эйлера находят предварительное значение
                                          yi + 1 = yi + h f ( xi , yi )                          ( 56 )
сеточного решения в узле xi+1, а затем уточняют его по формуле:
                                                       h
                                      yi + 1 = yi + ( f ( xi , yi ) + f ( xi + 1 , yi + 1 )).      ( 57 )
                                                      2
           В случае же модифицированного метода Эйлера сначала по формуле
явного метода Эйлера находят вспомогательное сеточное решение
                                                    h
                                   y 1 = yi + f ( xi , yi )
                                    i+              2
                                   2
                                h
в промежуточном узле xi + 1 = xi + с «полуцелым» номером i + 21 , а затем
                         2      2
вычисляют искомое сеточное решение yi+1 по формуле:

Страницы