Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
отрезка выбирается здесь сложнее. А именно, в дополнение к точке (x
i
, y
i
) с
помощью явного метода Эйлера строится точка
(x
i+1
,
)
1i
y
+
, и в качестве
тангенса угла
наклона отрезка к оси абсцисс принимается среднее
арифметическое тангенсов углов, которые образуют с осью
x касательные к
проходящим через эти точки графикам решений дифференциального
уравнения.
Подчеркнем, что усредняются не сами углы, а их тангенсы.
Упражнение 23
. Выяснить геометрический смысл модифицированного
метода Эйлера (55).
Возникает вопрос, в чем преимущество методов
(54), (55) перед явным
методом Эйлера? Ответ таков: исправленный и модифицированный методы
Эйлера обеспечивают при
0h →
более быструю сходимость сеточного
решения к решению дифференциальной задачи. И обладают они этим
свойством в силу того, что локальная погрешность этих методов на шаге
алгоритма имеет более высокий порядок малости по
h, чем у явного метода
Эйлера.
Следует, однако, оговориться, что последний факт имеет место не всегда,
а лишь для достаточно гладких решений. Поэтому далее мы наложим
дополнительные условия на правую часть дифференциального уравнения
f,
предположив, что непрерывностью по совокупности переменных
x, y и
ограниченностью обладают не только сама функция f и ее первые частные
производные, но и вторые частные производные ;,,
''''''
yyxyxx
fff
соответствующие константы из условий ограниченности этих производных
обозначим через
M
4
, M
5
, M
6
.
Лемма 24
. Локальная погрешность
)(
2
1i
+
ε
исправленного метода Эйлера
удовлетворяет оценке:
)58(,1N,,1,0i,hM
3
)2(
1i
−=⋅≤
+
K
ε
где M – конечная постоянная, одна и та же для всех i, значение которой
определяется значениями констант
M
1
– M
6
.
Доказательство
. Идея вывода оценки (58) – в точности та же, что и при
выводе аналогичной оценки (40) для локальной погрешности явного метода
Эйлера (значения констант
M в этих двух оценках, естественно, различные). А
именно, в выражении для локальной погрешности метода
)59(y)x(y
1i1i
)i(
)2(
1i
++
+
−=
ε
заменяем сеточное решение
1i
y
+
равной ему согласно расчетной формуле
метода величиной, разлагаем с помощью формул Тейлора полученное в
результате этого выражение по степеням
h и убеждаемся в том, что оно
является бесконечно малой требуемого порядка малости по
h.
В формуле
(59) величина
)(
)(
1i
i
xy
+
есть, как и в явном методе Эйлера,
значение в точке
1i
x
+
вспомогательного решения дифференциального
уравнения – решения задачи Коши: 
                                            21
отрезка выбирается здесь сложнее. А именно, в дополнение к точке (xi, yi) с
помощью явного метода Эйлера строится точка (xi+1, yi + 1 ) , и в качестве
тангенса угла наклона отрезка к оси абсцисс принимается среднее
арифметическое тангенсов углов, которые образуют с осью x касательные к
проходящим через эти точки графикам решений дифференциального
уравнения.
      Подчеркнем, что усредняются не сами углы, а их тангенсы.
      Упражнение 23. Выяснить геометрический смысл модифицированного
метода Эйлера (55).
      Возникает вопрос, в чем преимущество методов (54), (55) перед явным
методом Эйлера? Ответ таков: исправленный и модифицированный методы
Эйлера обеспечивают при        h → 0 более быструю сходимость сеточного
решения к решению дифференциальной задачи. И обладают они этим
свойством в силу того, что локальная погрешность этих методов на шаге
алгоритма имеет более высокий порядок малости по h, чем у явного метода
Эйлера.
      Следует, однако, оговориться, что последний факт имеет место не всегда,
а лишь для достаточно гладких решений. Поэтому далее мы наложим
дополнительные условия на правую часть дифференциального уравнения f,
предположив, что непрерывностью по совокупности переменных x, y и
ограниченностью обладают не только сама функция f и ее первые частные
                                                                  ''     ''     ''
производные, но и вторые частные производные                    f xx , f xy , f yy ;
соответствующие константы из условий ограниченности этих производных
обозначим через M4 , M5 , M6 .
     Лемма 24. Локальная погрешность ε i(+21) исправленного метода Эйлера
удовлетворяет оценке:
                         ε i(+21) ≤ M ⋅ h 3 , i = 0 , 1, K , N − 1,           ( 58 )
где M – конечная постоянная, одна и та же для всех i, значение которой
определяется значениями констант M1 – M6 .
     Доказательство. Идея вывода оценки (58) – в точности та же, что и при
выводе аналогичной оценки (40) для локальной погрешности явного метода
Эйлера (значения констант M в этих двух оценках, естественно, различные). А
именно, в выражении для локальной погрешности метода
                           ε i(+21) = y ( i ) ( xi +1 ) − yi +1             ( 59 )
заменяем сеточное решение yi + 1 равной ему согласно расчетной формуле
метода величиной, разлагаем с помощью формул Тейлора полученное в
результате этого выражение по степеням h и убеждаемся в том, что оно
является бесконечно малой требуемого порядка малости по h.
     В формуле (59) величина y (i ) ( xi + 1 ) есть, как и в явном методе Эйлера,
значение в точке xi + 1 вспомогательного решения дифференциального
уравнения – решения задачи Коши:

Страницы