Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
бесконечно малые нулевого, первого и второго порядка малости по h одни и
те же, и потому при подстановке этих выражений в
(59) взаимно уничтожатся.
Значит, локальная погрешность исправленного метода Эйлера имеет вид:
)71(hh)hx()y(
3
i
3
ii
)i(
6
1
)2(
1i
⋅−⋅⋅+
′′′
=
+
δθε
и потому является бесконечно малой третьего порядка малости относительно h.
При этом модуль второго члена
)(
3
i
h
δ
−
в правой части (71) оценивается
сверху величиной
,hM
3
7
⋅
где в силу (70) константа
7
M
имеет вид:
).)M(MMM2M(M
2
16154
2
1
7
⋅+⋅+=
Что же касается модуля первого члена, то он допускает оценку сверху
бесконечно малой
3
8
hM ⋅ того же порядка, но с другой константой .
8
M
Для
нахождения этой константы следует продифференцировать правую часть
равенства
(64) и, воспользовавшись соотношением (60), выразить третью
производную решения
)(i
y через правую часть дифференциального уравнения и
ее частные производные до второго порядка включительно:
)72()))x(y,x(f))x(y,x(f))x(y,x(f))(x(y,x(f
))x(y,x(f)))x(y,x(f))x(y,x(f))x(y,x(f(
))x(y,x(f))x(y,x(f))x(y,x(f)x()y(
)i()i(
y
)i(
x
)i(
y
)i()i()i(
yy
)i(
xy
)i()i(
xy
)i(
xx
)i(
′
+
′′
+
+⋅
′′
+
′′
+
+
′′
+
′′
=
′′′
(вытекающее отсюда выражение для константы
8
M
через константы
654321
M,M,M,M,M,M не выписываем ввиду его громоздкости).
Таким образом, установлена оценка
(58) с константой .MMM
78
+=
Упражнение 25
. Показать, что в случае модифицированного метода
Эйлера локальные погрешности удовлетворяют оценке, аналогичной оценке
(58) (с другой, вообще говоря, константой M).
Теорема 26
. Погрешности сеточного решения в случае исправленного
метода Эйлера удовлетворяют неравенству
{
)73(,hC
2
i
N,,1,0i
max
≤
=
ε
K
где через C обозначена конечная не зависящая от h постоянная, значение
которой определяется значениями констант
61
M,,M
K
и длиной X отрезка
интегрирования.
Доказательство
. Анализ вывода аналогичной оценки (53) для явного
метода Эйлера показывает, что расчётная формула явного метода Эйлера
используется в них только для вывода оценки
(40) для локальных
погрешностей. Все же последующие рассуждения имеют общий характер и
могут быть использованы для любого одношагового метода. Проводя эти
рассуждения с заменой мажоранты
2
hM из неравенства (40) мажорантой
3
hM локальных погрешностей модифицированного метода Эйлера из
неравенства
(58), придем к оценке (73) с константой C, обладающей
упомянутыми выше свойствами. 
                                                                     23
бесконечно малые нулевого, первого и второго порядка малости по h одни и
те же, и потому при подстановке этих выражений в (59) взаимно уничтожатся.
Значит, локальная погрешность исправленного метода Эйлера имеет вид:
          ε i(+21) = 1 6 ( y ( i ) )′′′( xi + θ i ⋅ h ) ⋅ h 3 − δ i ⋅ h 3 ( 71 )
и потому является бесконечно малой третьего порядка малости относительно h.
При этом модуль второго члена (−δ i h 3 ) в правой части (71) оценивается
сверху величиной M 7 ⋅ h 3 , где в силу (70) константа M 7 имеет вид:
                               M 7 = 1 2 ( M 4 + 2 M 5 ⋅ M 1 + M 6 ⋅ ( M 1 )2 ).
Что же касается модуля первого члена, то он допускает оценку сверху
бесконечно малой M 8 ⋅ h 3 того же порядка, но с другой константой M 8 . Для
нахождения этой константы следует продифференцировать правую часть
равенства (64) и, воспользовавшись соотношением (60), выразить третью
производную решения y (i ) через правую часть дифференциального уравнения и
ее частные производные до второго порядка включительно:
( y ( i ) )′′′( x ) = f xx
                        ′′ ( x , y ( i ) ( x )) + f xy
                                                    ′′ ( x , y ( i ) ( x )) f ( x , y ( i ) ( x )) +
      ′′ ( x , y ( i ) ( x )) + f yy
+ ( f xy                          ′′ ( x , y ( i ) ( x ))⋅ f ( x , y ( i ) ( x ))) f ( x , y ( i ) ( x )) +

+ f y′ ( x , y ( i ) ( x ))( f x′ ( x , y ( i ) ( x )) + f y′ ( x , y ( i ) ( x )) f ( x , y ( i ) ( x )))    ( 72 )
 (вытекающее отсюда выражение для константы M 8 через константы
M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 не выписываем ввиду его громоздкости).
       Таким образом, установлена оценка (58) с константой M = M 8 + M 7 .
       Упражнение 25. Показать, что в случае модифицированного метода
Эйлера локальные погрешности удовлетворяют оценке, аналогичной оценке
(58) (с другой, вообще говоря, константой M).
       Теорема 26. Погрешности сеточного решения в случае исправленного
метода Эйлера удовлетворяют неравенству
                                               2
                                   { εi ≤ C h ,
                                   max                                     ( 73 )
                                              i = 0 ,1,K, N
где через C обозначена конечная не зависящая от h постоянная, значение
которой определяется значениями констант M 1 , K , M 6 и длиной X отрезка
интегрирования.
      Доказательство. Анализ вывода аналогичной оценки (53) для явного
метода Эйлера показывает, что расчётная формула явного метода Эйлера
используется в них только для вывода оценки (40) для локальных
погрешностей. Все же последующие рассуждения имеют общий характер и
могут быть использованы для любого одношагового метода. Проводя эти
рассуждения с заменой мажоранты M h 2 из неравенства (40) мажорантой
M h 3 локальных погрешностей модифицированного метода Эйлера из
неравенства (58), придем к оценке (73) с константой C, обладающей
упомянутыми выше свойствами.

Страницы