Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
соединяющего базовую точку с «возмущенной» точкой, то есть
точкой с приращениями координат
f
h,h
β
β
по переменным
x, y
соответственно.
Вычитая разложение
(77)
из разложения
(68)
(оно в случае метода
(75)
имеет в точности тот же вид, что и для исправленного метода Эйлера) и
приводя подобные, получим для локальной погрешности метода
(75)
представление:
)79(.h))hx()y((
h)fff)(p(hf)pp1(
3
iii
)i(
6
1
2
yx2
2
1
21
)2(
1i
⋅−+
′′′
+
+⋅
′
+
′
−+⋅−−=
+
δθ
βε
Если условия
(76)
выполнены, то члены первого и второго порядков
малости по
h
в правой части равенства
(79)
пропадают и локальная
погрешность совпадает с членом третьего порядка малости по
h
. Оценивая с
помощью формул
(72), (78)
абсолютную величину коэффициента при
3
h
подобно тому, как это делалось при изучении исправленного метода Эйлера,
придем к неравенству
(73).
Если же хотя бы одно из условий
(76)
не выполнено, то локальная
погрешность
(79)
имеет порядок по
h
ниже третьего, и потому неравенство
(73)
не может быть справедливым.
Замечание 33
. Методы с расчётной формулой
(75)
при выполнении
условий
(76)
в силу
теоремы 32
и
замечания (30)
имеют второй порядок
точности.
Замечание 34
. Нулевое значение параметра
2
p
не удовлетворяет правому
из уравнений
(76)
. Исключая из рассмотрения этот случай, получаем
возможность выразить из этого уравнения параметр
β
через .
2
p
Кроме того,
левое из уравнений
(76)
позволяет выразить через
2
p
и параметр .
1
p
Подстановка этих выражений в
(75)
приводит к следующему
однопараметрическому семейству расчетных формул второго порядка
точности:
))).y,x(f
p2
h
y,
p2
h
x(fp)y,x(f)p1((hyy
ii
2
i
2
i2ii2i1i
+++−+=
+
Придавая здесь параметру
2
p
какое-либо фиксированное вещественное
отличное от нуля значение, получим конкретную расчётную формулу этого
семейства.
Замечание 35
. Геометрически сеточное решение
(75)
находится, по
существу, с помощью построений, которые были описаны при изучении
исправленного метода Эйлера (см.
лемму 22
и предшествующие ей
рассуждения). Отличие состоит лишь в том, что в качестве точки полосы для
проведения второй касательной берется точка
))y,x(fhy,hx(
iiii
β
β
+
+
, а
вместо
среднего арифметического
значения угловых коэффициентов
касательных берется их
среднее алгебраическое
значение, т.е. линейная
комбинация
2211
tgptgptg
α
α
α
+
=
                                                    25
соединяющего базовую точку с «возмущенной» точкой, то есть
точкой с приращениями координат β h , β h f по переменным x, y
соответственно.
     Вычитая разложение (77) из разложения (68) (оно в случае метода (75)
имеет в точности тот же вид, что и для исправленного метода Эйлера) и
приводя подобные, получим для локальной погрешности метода (75)
представление:
             ε i(+21) = ( 1 − p1 − p2 ) f ⋅ h + ( 1 2 − p 2 β )( f x′ + f y′ f ) ⋅ h 2 +
                    + 1 6 (( y ( i ) )′′′( xi + θ i h ) − δ i ) ⋅ h 3 .                              ( 79 )
         Если условия (76) выполнены, то члены первого и второго порядков
малости по h в правой части равенства (79) пропадают и локальная
погрешность совпадает с членом третьего порядка малости по h. Оценивая с
помощью формул (72), (78) абсолютную величину коэффициента при h 3
подобно тому, как это делалось при изучении исправленного метода Эйлера,
придем к неравенству (73).
         Если же хотя бы одно из условий (76) не выполнено, то локальная
погрешность (79) имеет порядок по h ниже третьего, и потому неравенство (73)
не может быть справедливым.
         Замечание 33. Методы с расчётной формулой (75) при выполнении
условий (76) в силу теоремы 32 и замечания (30) имеют второй порядок
точности.
         Замечание 34. Нулевое значение параметра p2 не удовлетворяет правому
из уравнений (76). Исключая из рассмотрения этот случай, получаем
возможность выразить из этого уравнения параметр β через p2 . Кроме того,
левое из уравнений (76) позволяет выразить через p2 и параметр p1 .
Подстановка этих выражений в (75) приводит к следующему
однопараметрическому семейству расчетных формул второго порядка
точности:
                                                                  h             h
 yi + 1 = yi + h (( 1 − p2 ) f ( xi , yi ) + p2 f ( xi +                , yi +      f ( xi , yi ))).
                                                               2 p2            2 p2
Придавая здесь параметру p2 какое-либо фиксированное вещественное
отличное от нуля значение, получим конкретную расчётную формулу этого
семейства.
         Замечание 35. Геометрически сеточное решение (75) находится, по
существу, с помощью построений, которые были описаны при изучении
исправленного метода Эйлера (см. лемму 22 и предшествующие ей
рассуждения). Отличие состоит лишь в том, что в качестве точки полосы для
проведения второй касательной берется точка ( xi + β h , yi + β h f ( xi , yi )) , а
вместо среднего арифметического значения угловых коэффициентов
касательных берется их среднее алгебраическое значение, т.е. линейная
комбинация
                                            tgα = p1 tgα 1 + p2 tgα 2

Страницы