Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
Замечание 27. Оценка (73) (с другой константой C) имеет место и
для модифицированного метода Эйлера.
Замечание 28
. Оценка (73) гарантирует более быструю сходимость
сеточных решений при стремлении шага сетки к нулю нежели аналогичная
оценка
(40) для явного метода Эйлера (при уменьшении h вдвое правая часть
неравенства
(73), а значит, и предельно возможное значение абсолютной
погрешности сеточного решения у исправленного и модифицированного
методов Эйлера уменьшается вчетверо, тогда как в силу оценки
(40) такое же
уменьшение шага сетки в случае явного метода Эйлера уменьшает предельно
возможное значение абсолютной погрешности лишь вдвое).
Определение 29
. Одношаговый метод называется методом m-го порядка
точности (
m – натуральное, m ≥ 1), если для погрешности сеточного решения
справедлива оценка:
{
)74(.hC
m
i
N,,1,0i
max
≤
=
ε
K
В частности, явный метод Эйлера имеет первый порядок точности, а
исправленный и модифицированный методы Эйлера – второй.
Замечание 30
. В силу сказанного выше задача построения одношагового
метода m-го порядка точности сводится к задаче построения метода с
локальной погрешностью порядка
.
1m
h
+
Замечание 31
. Исправленный и модифицированный методы Эйлера
принадлежат группе методов с расчетной формулой
)75())).y,x(hfy,hx(fp)y,x(fp(hyy
iiii2ii1i1i
β
β
+
+
++=
+
Здесь
−
β
,p,p
21
вещественные константы («параметры метода»).
В частности, исправленному методу Эйлера отвечают константы
,1,pp
2
1
21
===
β
а модифицированному – константы
.,1p,0p
2
1
21
=
=
=
β
Теорема 32
. Для того чтобы локальная погрешность одношагового метода
с расчетной формулой
(75)
удовлетворяла оценке
(73),
необходимо и
достаточно, чтобы его параметры удовлетворяли системе уравнений
)76(.p,1pp
2
1
221
=
=
+
β
Доказательство. Разлагая по степеням
h
с помощью формулы Тейлора
сеточное решение
(75)
подобно тому, как это делалось в случае исправленного
метода Эйлера (см. формулу (67)), получим разложение
)77(,hh)fff(phf)pp(yy
3
i
2
yx221i1i
δβ
+
′
+
′
+++=
+
где
Здесь через
yx
f,f,f
′
′
обозначены значения правой части
дифференциального уравнения и ее первых производных в «базовой» точке
),y,x(
ii
т.е. в точке, в окрестности которой выписывается разложение
Тейлора, а через
−
ii
y
~
,x
~
координаты промежуточной точки отрезка,
)78().f)y
~
,x
~
(ff)y
~
,x
~
(f2)y
~
,x
~
(f(
2
p
22
iiyy
2
iixy
2
iixx
2
i
βββδ
′′
+
′′
+
′′
=
                                                  24
     Замечание 27. Оценка (73) (с другой константой C) имеет место и
для модифицированного метода Эйлера.
     Замечание 28. Оценка (73) гарантирует более быструю сходимость
сеточных решений при стремлении шага сетки к нулю нежели аналогичная
оценка (40) для явного метода Эйлера (при уменьшении h вдвое правая часть
неравенства (73), а значит, и предельно возможное значение абсолютной
погрешности сеточного решения у исправленного и модифицированного
методов Эйлера уменьшается вчетверо, тогда как в силу оценки (40) такое же
уменьшение шага сетки в случае явного метода Эйлера уменьшает предельно
возможное значение абсолютной погрешности лишь вдвое).
     Определение 29. Одношаговый метод называется методом m-го порядка
точности (m – натуральное, m ≥ 1), если для погрешности сеточного решения
справедлива оценка:
                                        m
                           { εi ≤ C h .
                           max                                        ( 74 )
                                i = 0 , 1,K , N
         В частности, явный метод Эйлера имеет первый порядок точности, а
исправленный и модифицированный методы Эйлера – второй.
         Замечание 30. В силу сказанного выше задача построения одношагового
метода m-го порядка точности сводится к задаче построения метода с
локальной погрешностью порядка h m + 1 .
         Замечание 31. Исправленный и модифицированный методы Эйлера
принадлежат группе методов с расчетной формулой
 yi + 1 = yi + h( p1 f ( xi , yi ) + p2 f ( xi + β h , yi + β hf ( xi , yi ))).             ( 75 )
Здесь p1 , p2 , β − вещественные константы («параметры метода»).
         В частности, исправленному методу Эйлера отвечают константы
 p1 = p2 = 1 2 , β = 1, а модифицированному – константы p1 = 0 , p2 = 1, β = 1 2 .
         Теорема 32. Для того чтобы локальная погрешность одношагового метода
с расчетной формулой (75) удовлетворяла оценке (73), необходимо и
достаточно, чтобы его параметры удовлетворяли системе уравнений
                                      p1 + p2 = 1, p2 β = 1 2 .                            ( 76 )
         Доказательство. Разлагая по степеням h с помощью формулы Тейлора
сеточное решение (75) подобно тому, как это делалось в случае исправленного
метода Эйлера (см. формулу (67)), получим разложение
                  yi + 1 = yi + ( p1 + p2 ) f h + p2 β ( f x′ + f y′ f ) h 2 + δ i h 3 ,   ( 77 )
где
        p
δ i = 2 ( f xx ′′ ( ~
                    xi , ~yi )β 2 + 2 f xy
                                        ′′ ( ~
                                             xi , ~yi )β 2 f + f yy
                                                                 ′′ ( ~
                                                                      xi , ~yi )β 2 f 2 ). ( 78 )
         2

         Здесь через     f , f x′ , f y′ обозначены значения правой части
дифференциального уравнения и ее первых производных в «базовой» точке
( xi , yi ), т.е. в точке, в окрестности которой выписывается разложение
Тейлора, а через ~      xi , ~yi − координаты промежуточной точки отрезка,

Страницы