Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

22
)61(.y)x(y
)60()),x(y,x(f)x()y(
ii
)i(
)i()i(
=
=
′
Выразим это значение по формуле Тейлора, удерживая в разложении члены до
третьего порядка малости включительно:
)62(.h)hx()y(h)x()y(h)x()y()x(y)x(y
3
i
)i(
6
1
2
i
)i(
2
1
i
)i(
i
)i(
1i
)i(
θ
+
′′′
+
′′
+
′
+=
+
В силу равенств (60), (61) имеем:
)63().y,x(f))x(y,x(f)x()y(,y)x(y
iii
)i(
ii
)i(
ii
)i(
==
′
=
Кроме того, дифференцируя равенство (60), а затем повторно его используя,
получим соотношение:
)64()),x(y,x(f))x(y,x(f
))x(y,x(f)x()y())x(y,x(f))x(y,x(f)x()y(
)i()i(
y
)i(
x
)i()i(
y
)i(
x
)i(
⋅
′
+
+
′
=
′
⋅
′
+
′
=
′′
из которого с помощью подстановки
i
xx
=
с учетом (61) получается равенство
)65().y,x(f)y,x(f)y,x(f)x()y(
iiiiyiixi
)i(
⋅
′
+
′
=
′′
В силу
(63), (65) разложению (62) можно придать вид:
)66(.h)hx()y(
h))y,x(f)y,x(f)y,x(f)((h)y,x(fy)x(y
3
ii
)i(
6
1
2
iiiiyiix
2
1
iii1i
)i(
θ
+
′′′
+
+
′
+
′
++=
+
Далее, величина
1i
y
+
в выражении (59) для локальной погрешности
задается формулой
(54). Разлагая правую часть этого выражения по формуле
Тейлора для функции двух переменных в окрестности точки
),,(
ii
yx получим:
)67(,h))y,x(f)y
~
,x
~
(f)y,x(f)y
~
,x
~
(f2)y
~
,x
~
(f(
h))y,x(f)y,x(f)y,x(f(h)y,x(fy))})y,x(fh)y
~
,x
~
(f
)y,x(fhh)y
~
,x
~
(
f2h)y
~
,x
~
(f()y,x(fh)y,x(fh)y,x(f
)y,x(f{)y,x(f(
2
h
y)))y,x(fhy,hx(f)y,x(f(
2
h
yy
3
ii
2
iiyyiiiixyiixx
2
1
2
iiiiyiix
2
1
iiiii
22
iiyy
iiiixy
2
iixx
2
1
iiiiyiix
iiiiiiiiiiii1i
⋅
′′
+⋅
′′
+
′′
+
+
′
+
′
++=
′′
+
+⋅⋅
′′
+⋅
′′
+
′
+
′
+
+++=++++=
+
где
−
ii
y
~
,x
~
координаты точки полосы, лежащей на отрезке, соединяющем точку
)y,x(
ii
с точкой
.))y,x(fhy,x()y,x(
iii1i1i1i
+
=
+++
Перепишем равенства
(66), (67) в менее громоздкой форме, опустив
аргументы функций двух переменных, если они равны
:y,x
ii
)68(,h)hx()y(h)fff(hfy)x(y
3
ii
)i(
6
1
2
yx
2
1
i1i
)i(
⋅+
′′′
+⋅
′
+
′
+⋅+=
+
θ
)69(,hh)fff(hfyy
3
i
2
yx
2
1
i1i
⋅+⋅⋅
′
+
′
+⋅+=
+
δ
где введено обозначение:
)().)
~
,
~
()
~
,
~
()
~
,
~
(( 70fyxffyxf2yxf
2
iiyyiixyiixx
2
1
i
⋅
′′
+⋅
′′
+
′′
=
δ
Сравнение выражений (68), (69) показывает, что фигурирующие в них 
                                                                   22




                                                 ( y ( i ) )′( x ) = f ( x , y ( i ) ( x )),                                 ( 60 )
                                                  y ( i ) ( xi ) = y i .                                                       ( 61 )
Выразим это значение по формуле Тейлора, удерживая в разложении члены до
третьего порядка малости включительно:
 y ( i ) ( xi +1 ) = y ( i ) ( xi ) + ( y ( i ) )′( xi ) h + 1 2 ( y ( i ) )′′( xi ) h 2 + 1 6 ( y ( i ) )′′′( x + θ i h )h 3 . ( 62 )
В силу равенств (60), (61) имеем:
 y ( i ) ( xi ) = yi , ( y ( i ) )′( xi ) = f ( xi , y ( i ) ( xi )) = f ( xi , yi ).                                         ( 63 )
Кроме того, дифференцируя равенство (60), а затем повторно его используя,
получим соотношение:
( y ( i ) )′′( x ) = f x′ ( x , y ( i ) ( x )) + f y′ ( x , y ( i ) ( x )) ⋅ ( y ( i ) )′( x ) = f x′ ( x , y ( i ) ( x )) +
+ f y′ ( x , y ( i ) ( x )) ⋅ f ( x , y ( i ) ( x )),                                                                      ( 64 )
из которого с помощью подстановки x = xi с учетом (61) получается равенство
                   ( y ( i ) )′′( xi ) = f x′ ( xi , yi ) + f y′ ( xi , yi ) ⋅ f ( xi , yi ).                              ( 65 )
В силу (63), (65) разложению (62) можно придать вид:
y ( i ) ( xi +1 ) = yi + f ( xi , yi ) h + ( 1 2 )( f x′ ( xi , yi ) + f y′ ( xi , yi ) f ( xi , yi )) h 2 +
+ 1 6 ( y ( i ) )′′′( xi + θ i h ) h 3 .                                                                                        ( 66 )
         Далее, величина yi + 1 в выражении (59) для локальной погрешности
задается формулой (54). Разлагая правую часть этого выражения по формуле
Тейлора для функции двух переменных в окрестности точки ( xi , yi ), получим:
                 h                                                                     h
 yi+1 = yi + ( f ( xi , yi ) + f ( xi + h, yi + h f ( xi , yi ))) = yi + ( f ( xi , yi ) + { f ( xi , yi ) +
                 2                                                                     2
                                                                 ′′ ( ~
+ f x′( xi , yi ) h + f y′ ( xi , yi ) h f ( xi , yi ) + 1 2 ( f xx   xi , ~yi )⋅ h 2 + 2 f xy
                                                                                            ′′ ( ~
                                                                                                 xi , ~yi ) ⋅ h ⋅ h f ( xi , yi ) +
    ′′ ( ~
+ f yy   xi , ~
              yi ) h 2 f 2 ( xi , yi ))}) = yi + f ( xi , yi )h + 1 2 ( f x′( xi , yi ) + f y′ ( xi , yi ) f ( xi , yi ))h 2 +
          ′′ ( ~
+ 1 2 ( f xx   xi , ~yi ) + 2 f xy
                                ′′ ( ~
                                     xi , ~yi ) ⋅ f ( xi , yi ) + f yy
                                                                    ′′ ( ~
                                                                         xi , ~
                                                                              yi ) ⋅ f 2 ( xi , yi ))h3 , ( 67 )
где ~ x , ~y − координаты точки полосы, лежащей на отрезке, соединяющем точку
        i     i
( xi , yi ) с точкой ( xi + 1 , yi + 1 ) = ( xi + 1 , yi + h f ( xi , yi )) .
         Перепишем равенства (66), (67) в менее громоздкой форме, опустив
аргументы функций двух переменных, если они равны xi , yi :
y ( i ) ( xi + 1 ) = yi + f ⋅ h + 1 2 ( f x′ + f y′ f ) ⋅ h 2 +          1
                                                                          6(   y ( i ) )′′′( xi + θ i h ) ⋅ h 3 ,              ( 68 )
 yi + 1 = yi + f ⋅ h + 1 2 ( f x′ + f y′ ⋅ f ) ⋅ h 2 + δ i ⋅ h ,         3
                                                                                     ( 69 )
где введено обозначение:
              ′′ ( ~
δ i = 1 2 ( f xx   xi , ~yi ) + 2 f xy
                                    ′′ ( ~
                                         xi , ~yi ) ⋅ f + f yy
                                                            ′′ ( ~
                                                                 xi , ~yi ) ⋅ f 2 ). (70 )
         Сравнение выражений (68), (69) показывает, что фигурирующие в них

Страницы