Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
).y,x(fhyy
2
1
2
1
ii
i1i
++
+
+
=
Укажем геометрический смысл
исправленного метода Эйлера
(рис. 10)
.
Проведем через точки
(x
i
, y
i
), (x
i+1
,
1i
y
+
),
где
1i
y
+
задается формулой
(56),
графики соответствующих решений
)1i()i(
y,y
+
дифференциального
уравнения
(1)
и обозначим через
21
,
α
α
углы, которые образуют с осью
x
касательные, проведенные к этим графикам в указанных точках. Затем
проведем через точку
(x
i
, y
i
)
прямую
l
под углом
α
к оси
x
, тангенс которого
равен среднему арифметическому тангенсов углов
:,
21
α
α
).tgtg(
2
1
tg
21
ααα
+=
Лемма 22
. Ордината точки пересечения прямой l с прямой, проходящей
через узел
x
I+1
параллельно оси ординат, совпадает со значением сеточного
решения в узле
x
i+1
, найденным исправленным методом Эйлера.
Доказательство. Выпишем уравнение прямой l:
.y)xx()tg()x(y
ii
+
−
⋅
=
α
)
Поскольку
),y,x(f
2
1
)y,x(f
2
1
))x(y,x(f
2
1
))x(y,x(f
2
1
)x()'y(
2
1
)x()'y(
2
1
tg
2
1
tg
2
1
tg
1i1iii1i
)1i(
1i
i
)i(
i1i
)1i(
i
)i(
21
+++
+
+
+
+
+=+
+=⋅+⋅=+=
ααα
уравнение рассматриваемой прямой можно переписать в виде:
.y)xx))(y,x(f)y,x(f(
2
1
)x(y
ii1i1iii
+−+=
++
)
Полагая здесь
x = x
i+1
и учитывая равенство x
i+1
– x
i
= h, получим величину
)),y,x(f)y,x(f(
2
h
y)x(y
1i1iiii1i +++
++=
)
совпадающую в силу
(57) с сеточным решением y
i+1
.
Замечание 23
. В случае исправленного метода Эйлера для нахождения
1i
y
+
график искомого решения на отрезке [x
i
, x
I+1
] заменяется как и в явном
методе Эйлера отрезком, проходящим через точку
(x
i
, y
i
). Однако наклон этого 
                                                  20

                                    y i + 1 = yi + h f ( x       ,y          ).
                                                         i+ 1         i+ 1
                                                             2          2
       Укажем геометрический смысл исправленного метода Эйлера (рис. 10).




       Проведем через точки (xi, yi), (xi+1, yi + 1 ), где yi + 1 задается формулой
(56), графики соответствующих решений y ( i ) , y ( i + 1 ) дифференциального
уравнения (1) и обозначим через α 1 , α 2 углы, которые образуют с осью x
касательные, проведенные к этим графикам в указанных точках. Затем
проведем через точку (xi, yi) прямую l под углом α к оси x, тангенс которого
равен среднему арифметическому тангенсов углов α 1 , α 2 :
                                                       1
                                              tg α = ( tg α 1 + tgα 2 ).
                                                       2
        Лемма 22. Ордината точки пересечения прямой l с прямой, проходящей
через узел xI+1 параллельно оси ординат, совпадает со значением сеточного
решения в узле xi+1, найденным исправленным методом Эйлера.
        Доказательство. Выпишем уравнение прямой l:
                                               )
                                               y( x ) = ( tgα ) ⋅ ( x − xi ) + yi .
Поскольку
         1           1              1                     1                           1
tgα = tgα 1 + tgα 2 = ⋅ ( y ( i ) )' ( xi ) + ⋅ ( y ( i +1 ) )' ( xi +1 ) = f ( xi , y ( i ) ( xi )) +
         2           2              2                     2                           2
    1                                 1                 1
+ f ( xi +1 , y ( i +1 ) ( xi +1 )) = f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi +1 ),
    2                                 2                 2
уравнение рассматриваемой прямой можно переписать в виде:
                                 )         1
                                 y( x ) = ( f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi +1 ))( x − xi ) + yi .
                                           2
Полагая здесь x = xi+1 и учитывая равенство xi+1 – xi = h, получим величину
                                  )                  h
                                 y( xi + 1 ) = yi + ( f ( xi , yi ) + f ( xi + 1 , yi + 1 )),
                                                     2
совпадающую в силу (57) с сеточным решением yi+1.
        Замечание 23. В случае исправленного метода Эйлера для нахождения
 yi + 1 график искомого решения на отрезке [xi, xI+1] заменяется как и в явном
методе Эйлера отрезком, проходящим через точку (xi, yi). Однако наклон этого

Страницы