Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 18 стр.

                                       18




                      1 − q i 1 − ei ⋅ M 3 h ei ⋅ M 3 h − 1
                              =                = M h             ,
                      1− q       1 − eM 3 h        e 3 −1
приходим к неравенству:
                                  ei ⋅ M 3 h − 1
                             εi ≤ M h            M h2 .                  ( 51 )
                                   e    3   −1
      Заметим, что в формуле для суммы членов прогрессии мы одновременно
изменили порядок слагаемых и в числителе, и в знаменателе, чтобы сделать и
числитель, и знаменатель положительными.
      Усилим неравенство (51) , заменив числитель фигурирующей в нем
дроби большим числом, а знаменатель – меньшим. Для этого заменим индекс i
в числителе максимально возможным значением N и, воспользовавшись
вытекающим из (3) равенством N · h = X, получим для числителя новое
большее значение e M 3 ⋅ X − 1, а в знаменателе, представив величину e M 3 h в
виде ряда для экспоненты и отбросив в оставшемся после взаимного
уничтожения единиц выражении
                      1           1                   1
                         M 3 h + ( M 3 h ) 2 + ( M 3 h )3 + K
                      1!          2!                 3!
все слагаемые (очевидно, положительные), начиная со второго, получим для
знаменателя новое меньшее выражение M 3 h.
В результате приходим к неравенству:
                            eM 3 X − 1                    eM 3 X − 1
                      εi ≤                M h2 = M                    h.
                                M3 h                          M3
Полученная оценка и есть оценка (50), при этом в силу (41) константа С есть
константа
                                  M + M 3M1
                         C = 21 ⋅ 2                  ⋅ ( e M 3 X − 1 ).  ( 52 )
                                         M3
      Следствие 20. Поскольку константа (52) из правой части оценки (50) не
зависит от i, cправедлива и оценка:
                                    max          ε i ≤ C h.                 ( 53 )
                               i = 0 , 1, K , N
Из этой оценки следует соотношение (28), означающее, что при стремлении
шага сетки к нулю погрешность сеточного решения тоже стремится к нулю,
причем стремится к нулю равномерно по узлам сетки.
      Замечание 21. Если константы M1, M2, M3 известны, то для получения
сеточного решения с требуемой точностью ε* следует решить неравенство
                                          C h ≤ ε∗
или, что то же самое, неравенство
                                             X
                                          C ≤ ε∗ ;
                                            N