Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
с коэффициентами
,p,p
21
сумма
которых равна (см.
(76)
) единице.
Замечание 36
. Методы
(75)
принадлежат семейству
методов Рунге–
Кутты
и при выполнении условий
(76)
образуют в нем подсемейство методов
второго порядка точности. Идея этого метода была сформулирована Карлом
Рунге в
1885
г. и развита Вильгельмом Куттой в работе 1901 г. Это обширное
семейство одношаговых методов содержит методы и более высоких порядков
точности, из которых чаще всего используются один из методов третьего
порядка и один из методов четвёртого порядка.
В методе третьего порядка на
(i+1)- м
шаге алгоритма последовательно
друг за другом вычисляются величины
которые с геометрической точки зрения представляют собой угловые
коэффициенты касательных к графикам решений дифференциального
уравнения в точке
),(
ii
yx
и двух других точках полосы, координаты которых
фигурируют во втором и третьем из выражений
(80).
Затем по формуле
)81()kk4k(
6
h
yy
321i1i
+++=
+
вычисляется сеточное решение в узле
.
1i
x
+
С геометрической точки зрения это означает, что через точку
),(
ii
yx
проводится прямая с угловым коэффициентом, равным алгебраическому
среднему величин
(80)
с коэффициентами усреднения
,,,
6
1
6
4
6
1
и в качестве
сеточного решения в узле
1i
x
+
берется ордината точки пересечения этой
прямой с прямой, проходящей через узел
1i
x
+
параллельно оси ординат.
В методе четвертого порядка на
(i+1)-м
шаге алгоритма сначала
вычисляются величины
)(),,(
),,(),,(),,(
82khyhxfk
k
2
h
yk
2
h
xfkk
2
h
y
2
h
xfkyxfk
3ii4
2i2i31ii2ii1
++=
++=++==
после чего находят сеточное решение по формуле
)().(
83kk2k2k
6
h
yy
4321i1i
++++=
+
Упражнение 37. Выяснить геометрический смысл метода
(82)–(83).
Расчетные формулы общего метода Рунге–Кутты приведены в [2].
Замечание 38
. Контроль точности полученного сеточного решения
осуществляется с помощью
правила Рунге приближенной оценки погрешности
,
с которым мы ранее встречались при приближённом вычислении определённых
интегралов. При приближенном решении задачи Коши одношаговыми
методами это правило применяется следующим образом.
)80(),kh2khy,hx(fk),k
2
h
y,
2
h
x(fk),y,x(fk
21ii31ii2ii1
+−+=++==
                                                26
с  коэффициентами p1 , p2 , сумма которых равна (см. (76)) единице.
      Замечание 36. Методы (75) принадлежат семейству методов Рунге–
Кутты и при выполнении условий (76) образуют в нем подсемейство методов
второго порядка точности. Идея этого метода была сформулирована Карлом
Рунге в 1885 г. и развита Вильгельмом Куттой в работе 1901 г. Это обширное
семейство одношаговых методов содержит методы и более высоких порядков
точности, из которых чаще всего используются один из методов третьего
порядка и один из методов четвёртого порядка.
      В методе третьего порядка на (i+1)- м шаге алгоритма последовательно
друг за другом вычисляются величины

                                   h        h
k1 = f ( xi , yi ), k 2 = f ( xi +   , yi + k1 ), k 3 = f ( xi + h , y i − h k1 + 2 h k 2 ), ( 80 )
                                   2        2
которые с геометрической точки зрения представляют собой угловые
коэффициенты касательных к графикам решений дифференциального
уравнения в точке ( xi , yi ) и двух других точках полосы, координаты которых
фигурируют во втором и третьем из выражений (80). Затем по формуле
               h
 yi + 1 = y i + ( k1 + 4 k 2 + k 3 )                                                          ( 81 )
               6
вычисляется сеточное решение в узле xi + 1 .
         С геометрической точки зрения это означает, что через точку ( xi , yi )
проводится прямая с угловым коэффициентом, равным алгебраическому
среднему величин (80) с коэффициентами усреднения 1 6 , 4 6 , 1 6 , и в качестве
сеточного решения в узле xi + 1 берется ордината точки пересечения этой
прямой с прямой, проходящей через узел xi + 1 параллельно оси ординат.
         В методе четвертого порядка на (i+1)-м шаге алгоритма сначала
вычисляются величины
                                   h        h                     h             h
k1 = f ( xi , yi ), k 2 = f ( xi + , yi + k1 ), k 3 = f ( xi + k 2 , yi + k 2 ),
                                   2        2                     2             2
k 4 = f ( xi + h, yi + h k 3 ),                                                                (82)
после чего находят сеточное решение по формуле
               h
 yi + 1 = yi + (k1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ).                                                     (83)
               6
         Упражнение 37. Выяснить геометрический смысл метода (82)–(83).
         Расчетные формулы общего метода Рунге–Кутты приведены в [2].
         Замечание 38. Контроль точности полученного сеточного решения
осуществляется с помощью правила Рунге приближенной оценки погрешности,
с которым мы ранее встречались при приближённом вычислении определённых
интегралов. При приближенном решении задачи Коши одношаговыми
методами это правило применяется следующим образом.

Страницы