Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 28 стр.

                                                      28
     Такой      способ     уточнения сеточных решений назван уточнением
по Ричардсону или Ричардсона экстраполяцией по имени английского
геофизика Л. Ричардсона, предложившего этот прием в 1910 г.
     Замечание 40. Методы Рунге–Кутты применяются не только в случае
задач Коши, но и в случае краевых задач для систем дифференциальных
уравнений первого порядка. При этом используется прием сведения решения
краевой задачи к последовательному решению задач Коши, называемый
методом пристрелки.
     Например, в случае краевой задачи

y1′ ( x ) = f 1 ( x , y1 ( x ), y 2 ( x )), y 2′ ( x ) = f 2 ( x , y1 ( x ), y 2 ( x )), x0 ≤ x ≤ x0 + X , ( 87 )
y1 ( x0 ) = ϕ , y 2 ( x0 + X ) = ψ                                                                        ( 88 )

рассмотрим для той же системы дифференциальных уравнений задачу Коши с
начальными условиями
                               y1 ( x0 ) = ϕ , y 2 ( x0 ) = δ                ( 89 )
и подберем правую часть δ второго из начальных условий (89) так, чтобы
решение y 2 (δ ) задачи Коши (оно, очевидно, зависит от δ ) удовлетворяло
второму из краевых условий (88):
                                      y 2 ( x0 + X ,δ ) = ψ ;
решение y1 (δ ), y 2 (δ ) и будет искомым решением краевой задачи.
         С абстрактной точки зрения задача о подборе δ есть задача о нахождении
корня функции
Ф(δ ) = y 2 ( x0 + X , δ ) − ψ .
Воспользуемся для ее решения методом половинного деления. С этой целью
подберем значения α 1 , β 1 ( α 1 < β 1 ) так, чтобы на концах отрезка [α 1 , β 1 ]
функция Ф принимала значения разных знаков. В этом случае ввиду
непрерывности Ф (непрерывную зависимость решения задачи Коши от правых
частей начальных условий мы предполагаем) такой отрезок будет содержать
искомый корень. Разделим этот отрезок пополам точкой δ 1 и из двух
подотрезков [ α 1 ,δ 1 ], [ δ 1 , β 1 ] выберем тот, на концах которого значения
функции Ф будут иметь разные знаки. Обозначим этот подотрезок через
[α 2 , β 2 ] и в свою очередь разделим его точкой δ 2 пополам, и так далее. Как
только длина отрезка [α n , β n ] окажется меньше допустимой погрешности
нахождения корня, вычисления прекращаем и середину δ n последнего отрезка
принимаем в качестве приближения к искомому значению δ .
         Другие способы решения скалярного уравнения Ф(δ ) = 0 описаны в [3].
         В заключение следует упомянуть еще об одной группе одношаговых
методов, называемых методами разложения решения в ряд Тейлора.
         Поясним идею такого метода на примере метода 2- го порядка точности.
         Рассмотрим разложение Тейлора (62) для вспомогательного решения
  (i )
 y нашего дифференциального уравнения, отбросим в нем член 3-го порядка