ВУЗ:
Составители:
29
малости и будем считать полученную величину сеточным решением в узле
.
1i
x
+
Другими словами, положим
.h)x()y(h)x()y()x(yy
2
i
)i(
2
1
i
)i(
i
)i(
1i
′′
+
′
+=
+
Заменяя здесь значения функции
)(i
y
и ее производных в точке
i
x
согласно
формулам
(63), (65), приходим к расчетной формуле
.h)y,x(f))y,x(f)y,x(f()y,x(fhyy
2
iiiiyiix
2
1
iii1i
′
+
′
++=
+
С аналитической точки зрения проведенные рассуждении означают
замену вспомогательного решения
)(i
y на отрезке
],[
1ii
xx
+
многочленом
второй степени, производные которого до
2- го порядка включительно в точке
i
x
совпадают с соответствующими производными решения
,
)(i
y
а с
геометрической – замену графика решения
)(i
y параболой, которая проходит
через точку
),(
ii
yx
и имеет в этой точке с графиком решения
)(i
y
общую
касательную и одинаковый радиус кривизны (такой случай касания двух
кривых называют «касанием
2-го порядка). При этом в качестве сеточного
решения
1i
y
+
принимается значение этого многочлена при
1i
xx
+
=
или в
геометрических терминах – ордината точки пересечения параболы с прямой,
проходящей через узел
1i
x
+
параллельно оси ординат.
Расчетная формула аналогичного метода
m-го порядка точности
содержит производные правой части
f дифференциального уравнении до
порядка
m −1 включительно. Вычисление значений этих производных в точке
i
x
составляет основной объем вычислений на (i+1)-м шаге алгоритма. При
увеличении
m количество этих производных быстро растет, метод становится
весьма трудоемким, уступая в этом отношении методу Рунге – Кутты того же
порядка точности. По этой причине метод разложения решения в ряд Тейлора
используется сравнительно редко.
§ 3. Задачи и упражнения
Упражнения для самостоятельного решения
Упражнение 1
. Вывести расчетную формулу метода разложения в ряд
Тейлора третьего порядка точности.
Упражнение 2
. Выписать расчетные формулы модифицированного
метода Эйлера для системы
(87).
Указание
. Считать в соотношениях (55) величины
1ii0
y,y,y
+
двумерными векторами, а функцию
f – функцией скалярной переменной x и
векторной переменной
y со значениями в ,
2
R
заданной с помощью двух
скалярных функций
21
f,f
тех же аргументов. Заменить в этом соотношении
векторы соответствующими парами компонент и приравнять в полученном
равенстве одноименные компоненты слева и справа.
29
малости и будем считать полученную величину сеточным решением в узле
xi + 1 . Другими словами, положим
yi + 1 = y ( i ) ( xi ) + ( y ( i ) )′( xi ) h + 1 2 ( y ( i ) )′′( xi ) h 2 .
Заменяя здесь значения функции y (i ) и ее производных в точке xi согласно
формулам (63), (65), приходим к расчетной формуле
yi + 1 = yi + h f ( xi , yi ) + 1 2 ( f x′ ( xi , yi ) + f y′ ( xi , yi )) f ( xi , yi ) h 2 .
С аналитической точки зрения проведенные рассуждении означают
замену вспомогательного решения y (i ) на отрезке [ xi , xi + 1 ] многочленом
второй степени, производные которого до 2- го порядка включительно в точке
xi совпадают с соответствующими производными решения y (i ) , а с
геометрической замену графика решения y (i ) параболой, которая проходит
через точку ( xi , yi ) и имеет в этой точке с графиком решения y (i ) общую
касательную и одинаковый радиус кривизны (такой случай касания двух
кривых называют «касанием 2-го порядка). При этом в качестве сеточного
решения yi + 1 принимается значение этого многочлена при x = xi + 1 или в
геометрических терминах ордината точки пересечения параболы с прямой,
проходящей через узел xi + 1 параллельно оси ординат.
Расчетная формула аналогичного метода m-го порядка точности
содержит производные правой части f дифференциального уравнении до
порядка m −1 включительно. Вычисление значений этих производных в точке
xi составляет основной объем вычислений на (i+1)-м шаге алгоритма. При
увеличении m количество этих производных быстро растет, метод становится
весьма трудоемким, уступая в этом отношении методу Рунге Кутты того же
порядка точности. По этой причине метод разложения решения в ряд Тейлора
используется сравнительно редко.
§ 3. Задачи и упражнения
Упражнения для самостоятельного решения
Упражнение 1. Вывести расчетную формулу метода разложения в ряд
Тейлора третьего порядка точности.
Упражнение 2. Выписать расчетные формулы модифицированного
метода Эйлера для системы (87).
Указание. Считать в соотношениях (55) величины y0 , yi , yi + 1
двумерными векторами, а функцию f функцией скалярной переменной x и
векторной переменной y со значениями в R 2 , заданной с помощью двух
скалярных функций f 1 , f 2 тех же аргументов. Заменить в этом соотношении
векторы соответствующими парами компонент и приравнять в полученном
равенстве одноименные компоненты слева и справа.
