Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 27 стр.

                                           27
      Пусть     y N ,h , y 2 N ,h − сеточные решения в правом конце отрезка
                               2
интегрирования, вычисленные методом m- го порядка точности с шагом сетки
h, h соответственно. Для этих решений справедливы равенства:
    2
                                                                 m
                                                                ⎛h⎞
 y( x0 + X ) − y N ,h = ch + o( h ), y( x0 + X ) − y 2 N ,h = c ⎜ ⎟ + o( h m ), ( 84 )
                       m           m
                                                           2    ⎝2⎠
где c – не зависящая от h постоянная, одна и та же для обеих формул (84), а
символом o(h m ) обозначены малые более высокого порядка, чем h m .
       Воспользоваться равенствами (84) для нахождения главных членов
погрешности рассматриваемых решений не удается, поскольку входящее в них
значение точного решения y ( x0 + X ) нам не известно. Однако, если вычесть
первое равенство из второго , получится соотношение
                           m
                      ⎛h⎞
                    c ⎜ ⎟ ( 1 − 2 m ) = y N ,h − y 2 N ,h + o( h m ), ( 85 )
                      ⎝ ⎠
                       2                                 2
отбрасывание малой высшего порядка в котором приводит к следующему
приближенному представлению для главного члена погрешности сеточного
решения y 2 N , h :
                2
                                   m
                            ⎛h⎞    1 ⎛                     ⎞
                           c⎜ ⎟ ≈ m   ⎜ y 2 N , h − y N ,h ⎟ .                   ( 86 )
                            ⎝2⎠  2 − 1⎝          2         ⎠

Если модуль правой части (86) не превышает заданного предельно допустимого
значения для абсолютной погрешности сеточного решения, то вычисления
заканчивают и в качестве приближенного решения на отрезке интегрирования
принимают сеточное решение, вычисленное с шагом h/2. В противном случае
описанную процедуру повторяют для шагов h /2, h/4, и так далее.
        Отметим, что при оценке погрешности по правилу Рунге конец отрезка
может быть заменен любой фиксированной его точкой (например, серединой
отрезка); шаг h при этом выбирается так, чтобы эта точка оказалась узлом
сетки.
        Замечание 39. Проведенные только что рассуждения позволяют указать и
способ уточнения полученного сеточного решения.
        А именно, если выразить из равенства (85) величину c(h / 2) m и
подставить результат во вторую из формул (84), то получим равенство
                ⎧              1 ⎛                      ⎞⎫      m
 y ( x0 + X ) = ⎨ y 2 N , h + m   ⎜ y 2 N , h − y N , h ⎟⎬ + o(h ),
                ⎩          2 2 − 1⎝          2          ⎠⎭
которое означает, что величина в фигурных скобках является лучшим
приближением для y ( x0 + X ), чем сеточное решение y 2 N , h , поскольку
                                                                      2
                                                                      m
погрешность этой величины есть бесконечно малая порядка o( h ), тогда как
погрешность сеточного решения имеет порядок O(h m ).