ВУЗ:
Составители:
30
Упражнение 3
. Выписать для системы (87) расчётные формулы:
а) исправленного метода Эйлера;
б) метода Рунге–Кутты второго порядка точности с параметром
;
2
p
в) метода Рунге–Кутты третьего порядка точности;
г) метода Рунге–Кутты четвёртого порядка точности.
Конкретизировать эти расчетные формулы применительно к системе
дифференциальных уравнений из упражнения 10 § 1.
Задания для лабораторных работ
Решить одношаговым методом задачу Коши и краевую задачу для
системы о.д.у. с заданной точностью, используя для выбора шага сетки правило
Рунге.
Варианты систем дифференциальных уравнений:
1)
;)(,)(,)(,)(,,,
41
e
2
1
2ze1y
e2
1
1ze1y2x1
y
x
z
z
x
y
−====≤≤−=
′
=
′
−
2)
;)(,)(,)(,)(,,,
2
2
e211z20y10z10y1x01yz
xz
y
y +====≤≤+=
′
−
=
′
3)
;)(,)(,)(,)(,,
)(
)(
,
4
1
2z
3
1
1y
4
1
1z
2
1
1y2x1
1yx
1z2yz
z
x
z
y ====≤≤
−
−+
=
′
=
′
4)
;)(,)(,)(,)(,,,
4
22
e
2
2ze21y
e
2
1ze1y2x1zy
x
z
zzyy ====≤≤−=
′
=
′
5) ;)(,)(,)(,)(,,,
4
5
1z10y
4
5
0z
4
3
0y1x0yzz
z2
1
2
z
z2
y
y
2
=−==−=≤≤+=
′
+−=
′
6) ;)(,)(,)(,)(,,,
e2ze1ye21ze1y2x1
x
z
y
z
zzy
4
2
====≤≤+=
′
=
′
7) ;)(,)(,)(,)(,,,
4231z10y10z10y1x0z
1
x
x
y
z
zzy
2
2
+====≤≤
+
−=
′
=
′
8) ;)(,)(,)(,)(,,,
10
6
2z31y
4
23
1z21y2x1
x
z
2
y
z
zzy
2
====≤≤+−=
′
=
′
9)
;)(,)(,)(,)(,,)(,
e
2
2z
e
1
1y
e
2
1z
e
1
1y2x1zxy
yx
1
zzy
2
2
2
====≤≤−=
′
=
′
10)
.)(,)(,)(,)(,,,
22
1
2z11y
2
1
1z11y2x1
x4
y
y4
1
zzy
23
====≤≤−=
′
=
′
Варианты одношаговых методов указаны в упражнениях 2, 3.
Литература
1.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений : учеб. пособие / И.Г. Петровский. – М. : Наука, 1964. – 272 с.
30
Упражнение 3. Выписать для системы (87) расчётные формулы:
а) исправленного метода Эйлера;
б) метода РунгеКутты второго порядка точности с параметром p2 ;
в) метода РунгеКутты третьего порядка точности;
г) метода РунгеКутты четвёртого порядка точности.
Конкретизировать эти расчетные формулы применительно к системе
дифференциальных уравнений из упражнения 10 § 1.
Задания для лабораторных работ
Решить одношаговым методом задачу Коши и краевую задачу для
системы о.д.у. с заданной точностью, используя для выбора шага сетки правило
Рунге.
Варианты систем дифференциальных уравнений:
x x 1 1
1) y ′ = , z ′ = − , 1 ≤ x ≤ 2, y (1) = e, z (1) = , y (1) = e − 1 , z (2) = − e 4 ;
z y 2e 2
y2
2) y ′ = , z ′ = y + 1, 0 ≤ x ≤ 1, y (0) = 1, z (0 ) = 1, y (0 ) = 2, z (1) = 1 + 2e 2 ;
z−x
z z ( y + 2 z − 1) 1 1 1 1
3) y ′ = , z ′ = , 1 ≤ x ≤ 2, y (1) = , z (1) = , y (1) = , z (2) = ;
x x( y − 1) 2 4 3 4
z 2 2
4) y ′ = y 2 z , z ′ = − y z 2 , 1 ≤ x ≤ 2, y (1) = e, z (1) = , y (1) = 2e, z (2) = 4 ;
x e e
y2 z 1 3 5 5
5) y ′ = − + , z ′ = z + y, 0 ≤ x ≤ 1, y (0 ) = − , z (0 ) = , y (0 ) = −1, z (1) = ;
2z 2 2z 4 4 4
2
z z
6) y ′ = z , z ′ = + , 1 ≤ x ≤ 2, y (1) = e, z (1) = 2e, y (1) = 4 e , z (2) = e;
y x
z2 x
7) y ′ = z , z ′ = − 2 z , 0 ≤ x ≤ 1, y (0 ) = 1, z (0 ) = 1, y (0 ) = 1, z (1) = 3 2 + 4;
y x +1
z2 z 3 2 6
8) y ′ = z , z ′ = − + 2 , 1 ≤ x ≤ 2, y (1) = 2 , z (1) = , y (1) = 3 , z (2) = ;
y x 4 10
1 1 2 1 2
9) y ′ = z , z ′ = 2 ( y − x z ) 2 , 1 ≤ x ≤ 2, y (1) = , z (1) = , y (1) = 2 , z (2) = ;
x y e e e e
1 y 1 1
10) y ′ = z , z ′ = 3 − 2 , 1 ≤ x ≤ 2, y (1) = 1, z (1) = , y (1) = 1, z (2) = .
4y 4x 2 2 2
Варианты одношаговых методов указаны в упражнениях 2, 3.
Литература
1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений : учеб. пособие / И.Г. Петровский. М. : Наука, 1964. 272 с.
