Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
первая из которых характеризует влияние локальных погрешностей,
допущенных на предшествующих шагах алгоритма, а вторая является
локальной погрешностью (i +1)-го шага.
Приступим к оценке локальной погрешности.
Лемма 14
. Для локальной погрешности явного метода Эйлера на (i +1)-м
шаге справедливо представление:
)35(.10,h)hx()y(
i
2
ii
)i(
2
1
)2(
1i
≤≤+
′′
=
+
θθε
Доказательство.
Разложим в формуле (34) величину y
(i)
(x
i+1
) по формуле Тейлора, а
величину y
i+1
заменим согласно расчетной формуле явного метода Эйлера
(12). Получим:
{
}
{
}
)(,),()()()()()(
)()()(
)(
36yxfhyhhxyhxyxy
iii
2
ii
i
2
1
i
i
i
i
2
1i
+−+
′′
+
′
+=
+
θε
где θ
i
– вещественное число между нулем и единицей. В силу (15),(16) имеем
)37().y,x(f))x(y,x(f)x()y(,y)x(y
iii
)i(
ii
)i(
ii
)i(
==
′
=
Подстановка в равенство (36) этих значений и приведение подобных членов
как раз и дадут представление (35).
Следствие 15
. При любом i = 0, 1, … , N −1 справедлива оценка:
)38(,h)MMM(
2
1
2
132
)2(
1i
+≤
+
ε
где M
1
, M
2
, M
3
– константы из условий (29)–(31).
Доказательство
. Из представления (35) имеем:
)39(.h)hx()y(
2
ii
)i(
2
1
)2(
1i
θε
+
′′
=
+
Оценим входящий сюда модуль второй производной вспомогательного
решения y
(i)
.
Дифференцируя равенство (15) по x, а затем опять используя это
равенство, получим:
)).(,())(,(
))(,()()())(,())(,()()(
)()(
)()()()()(
xyxfxyxf
xyxfxyxyxfxyxfxy
ii
y
i
x
ii
y
i
x
i
⋅
′
+
+
′
=
′
⋅
′
+
′
=
′′
Отсюда в силу условий (29)–(31) следует, что для любого x из отрезка [x
0
,
x
0
+X] справедливо неравенство
.MMM)x()y(
132
)i(
+≤
′′
Полагая в этом неравенстве x = x
i
+ θ
i
h и сопоставляя результат с равенством
(39), придем к неравенству (38).
Вывод 16
. При любом i = 0, 1, …, N −1 локальная погрешность
)(2
1i
+
ε
удовлетворяет неравенству
)40(,hM
2
)2(
1i
≤
+
ε
где
M –
константа, которая выражается через
M
1
, M
2
, M
3
согласно формуле: 
                                                               14
первая из которых характеризует влияние локальных погрешностей,
допущенных на предшествующих шагах алгоритма, а вторая является
локальной погрешностью (i +1)-го шага.
     Приступим к оценке локальной погрешности.
     Лемма 14. Для локальной погрешности явного метода Эйлера на (i +1)-м
шаге справедливо представление:
             ε i(+21) = 21 ( y ( i ) )′′( xi + θ i h ) h 2 , 0 ≤ θ i ≤ 1. ( 35 )
          Доказательство.
          Разложим в формуле (34) величину y(i)(xi+1) по формуле Тейлора, а
величину yi+1 заменим согласно расчетной формуле явного метода Эйлера
(12). Получим:
          {                                                                    }
ε i(+21) = y (i ) ( xi ) + ( y (i ) )′( xi )h + 1 ( y (i ) )′′( xi + θ i h) h 2 − {yi + h f ( xi , yi )},
                                                  2
                                                                                                          (36 )
где θi – вещественное число между нулем и единицей. В силу (15),(16) имеем
           y ( i ) ( xi ) = yi , ( y ( i ) )′( xi ) = f ( xi , y ( i ) ( xi )) = f ( xi , yi ). ( 37 )
Подстановка в равенство (36) этих значений и приведение подобных членов
как раз и дадут представление (35).
      Следствие 15. При любом i = 0, 1, , N −1 справедлива оценка:

                                       1
                            ε i(+21) ≤ ( M 2 + M 3 M 1 ) h 2 ,                                          ( 38 )
                                       2

где M1 , M2 , M3 – константы из условий (29)–(31).
     Доказательство. Из представления (35) имеем:
                                       ε i(+21) = 21 ( y ( i ) )′′( xi + θ i h ) h 2 .                  ( 39 )
           Оценим входящий сюда модуль второй производной вспомогательного
решения y(i).
           Дифференцируя равенство (15) по x, а затем опять используя это
равенство, получим:
( y (i ) )′′( x) = f x′ ( x, y (i ) ( x)) + f y′ ( x, y (i ) ( x)) ⋅ ( y (i ) )′( x) = f x′ ( x, y (i ) ( x)) +
+ f y′ ( x, y (i ) ( x)) ⋅ f ( x, y (i ) ( x)).
Отсюда в силу условий (29)–(31) следует, что для любого x из отрезка [x0 ,
x0+X] справедливо неравенство
                           ( y ( i ) )′′( x ) ≤ M 2 + M 3 M 1 .
Полагая в этом неравенстве x = xi + θi h и сопоставляя результат с равенством
(39), придем к неравенству (38).
     Вывод 16. При любом i = 0, 1,                                  , N −1 локальная погрешность ε i(2+ 1)
удовлетворяет неравенству
                                                      ε i(+21) ≤ M h 2 ,                               ( 40 )
где M – константа, которая выражается через M1, M2, M3 согласно формуле:

Страницы