Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
)19(y
)18(N,,2,1i,)y,x(f
h
yy
0
ii
1ii
ϕ
=
==
−
−
K
для отыскания сеточного решения. Чтобы выявить принципиальное различие
между системами (9)–(10) и (18)–(19), перепишем с помощью сдвига индекса
систему (18) в следующем эквивалентном виде:
)20(1N,,1,0i,)y,x(f
h
yy
1i1i
i1i
−==
−
++
+
K
и сравним ее с системой (9). Видим, что неизвестное y
i+1
входит (и притом
линейно) лишь в левую часть уравнения (9), что дает возможность явно
выразить его через сеточное решение y
i
в предыдущем узле. В уравнение же
(20) неизвестное y
i+1
входит дважды: линейно в левую часть и под знаком
нелинейной функции f в правую часть. Поэтому выразить здесь явно сеточное
решение y
i+1
через сеточное решение в предыдущем узле, вообще говоря, не
удаётся. Для нахождения сеточного решения в следующем узле по ранее
найденному сеточному решению в предыдущем узле в последнем случае
приходится на каждом шаге алгоритма решать нелинейное скалярное
уравнение.
Указанный способ приближенного решения задачи Коши (1)–(2),
записанный в виде алгоритма
⎩
⎨
⎧
=+=
−
−
)21(,N,,2,1i),y,x(hfyy
,заданоy
ii1ii
0
K
называется неявным методом Эйлера.
Выясним геометрический смысл неявного метода Эйлера.
Пусть y
i-1
, y
i
– сеточные решения в узлах x
i-1
, x
i
, найденные неявным
методом Эйлера. Рассмотрим (рис. 7) график решения дифференциального
уравнения, проходящий через точку x
i
, y
i
, то есть график решения задачи
Коши:
.y)x(y
)),x(y,x(f)x()'y(
ii
)i(
)i()i(
=
=
Касательной к графику этого решения при x = x
i
является прямая, проходящая
через точку (x
i
, y
i
), с угловым коэффициентом
k=(y
(i)
)
′
(x
i
)=f(x
i
,y
(i)
(x
i
))=f(x
i
,y
i
). 
                                                    8




                yi − yi − 1
                            = f ( xi , yi ) ,      i = 1,2 ,K , N         ( 18 )
                    h
               y0 = ϕ                                                    ( 19 )
для отыскания сеточного решения. Чтобы выявить принципиальное различие
между системами (9)–(10) и (18)–(19), перепишем с помощью сдвига индекса
систему (18) в следующем эквивалентном виде:
            yi + 1 − yi
                         = f ( xi + 1 , yi + 1 ) , i = 0 , 1, K , N − 1   ( 20 )
                  h
и сравним ее с системой (9). Видим, что неизвестное yi+1 входит (и притом
линейно) лишь в левую часть уравнения (9), что дает возможность явно
выразить его через сеточное решение yi в предыдущем узле. В уравнение же
(20) неизвестное yi+1 входит дважды: линейно в левую часть и под знаком
нелинейной функции f в правую часть. Поэтому выразить здесь явно сеточное
решение yi+1 через сеточное решение в предыдущем узле, вообще говоря, не
удаётся. Для нахождения сеточного решения в следующем узле по ранее
найденному сеточному решению в предыдущем узле в последнем случае
приходится      на каждом шаге алгоритма решать нелинейное скалярное
уравнение.
      Указанный способ приближенного решения задачи Коши                (1)–(2),
записанный в виде алгоритма

              ⎧ y0 − задано ,
              ⎨
              ⎩ yi = yi −1 + hf ( xi , yi ), i = 1, 2 , K , N ,           ( 21 )

называется неявным методом Эйлера.
     Выясним геометрический смысл неявного метода Эйлера.
     Пусть yi-1, yi – сеточные решения в узлах xi-1, xi , найденные неявным
методом Эйлера. Рассмотрим (рис. 7) график решения дифференциального
уравнения, проходящий через точку xi, yi, то есть график решения задачи
Коши:

                          ( y ( i ) )' ( x ) = f ( x , y ( i ) ( x )),
                          y ( i ) ( xi ) = yi .

Касательной к графику этого решения при x = xi является прямая, проходящая
через точку (xi , yi), с угловым коэффициентом

                        k=(y(i))′(xi )=f(xi ,y(i)(xi ))=f(xi ,yi ).

Страницы