Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши. Гудович Н.Н. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
Наша цель – вывести систему уравнений для приближенного отыскания
значений y(x
i
) искомого решения y в узлах сетки. Идея такого вывода – замена
в дифференциальном уравнении (1), записанном в узле сетки x
i
:
)6())x(y,x(f)x(y
iii
=
′
производной
)x(y
i
′
ее простейшим сеточным приближением
)7(.
h
)x(y)x(y
h
)x(y)hx(y
i1iii
−
=
−+
+
Формальная схема рассуждений такова.
Пусть ω
i
– погрешность сеточного приближения (7):
.)x(y
h
)x(y)x(y
ii
i1i
ω
+
′
=
−
+
Выражая отсюда производную y′(x
i
):
i
i1i
i
h
)x(y)x(y
)x(y
ω
−
−
=
′
+
и подставляя результат в левую часть равенства (6), получим соотношение
)8(,))x(y,x(f
h
)x(y)x(y
iii
i1i
ω
+=
−
+
которому удовлетворяют искомые величины y(x
i
), y(x
i+1
).
Заметим, что уравнения (8) могут быть записаны для всех
i = 0, 1,…, N −1,
так что равенства (8) образуют систему из N уравнений (при i = N равенство
(8) написать нельзя, поскольку при таком i узел
1i
x
+
выйдет за пределы сетки).
К сожалению, входящие в правую часть уравнений (8) погрешности ω
i
нам неизвестны, поэтому непосредственно воспользоваться системой (8) для
отыскания величин y(x
i
), i = 1, 2, … , N (y(x
0
) известно из начального условия)
нельзя. Однако, так как при малых h (а именно этот случай и будет
рассматриваться в дальнейшем) указанные погрешности малы, их в уравнениях
(8) естественно отбросить. Тогда, меняя обозначения для неизвестных с y(x
i
)
на y
i
(поскольку изменение правых частей уравнений (8) меняет, естественно,
их решение), приходим к системе уравнений:
)9(.1N,,1,0i),y,x(f
h
yy
ii
i1i
−==
−
+
K
Добавляя к этой системе равенство
y
0
= φ, (10)
получим замкнутую систему скалярных уравнений для отыскания величин y
i
.
Последовательность
y
0
, y
1
, … , y
N
                                       4




      Наша цель – вывести систему уравнений для приближенного отыскания
значений y(xi) искомого решения y в узлах сетки. Идея такого вывода – замена
в дифференциальном уравнении (1), записанном в узле сетки xi :
                           y ′( xi ) = f ( xi , y( xi ))                     (6 )
производной y ′( xi ) ее простейшим сеточным приближением
             y( xi + h ) − y( xi ) y( xi + 1 ) − y( xi )
                                       =                         .            (7 )
                        h                           h
      Формальная схема рассуждений такова.
      Пусть ωi – погрешность сеточного приближения (7):
             y( xi + 1 ) − y( xi )
                                     = y ′( xi ) + ω i .
                       h
Выражая отсюда производную y′(xi):
                          y( xi + 1 ) − y( xi )
            y ′( xi ) =                          −ω i
                                    h
и подставляя результат в левую часть равенства (6), получим соотношение
             y( xi + 1 ) − y( xi )
                                     = f ( xi , y( xi )) + ω i ,              (8)
                       h
которому удовлетворяют искомые величины y(xi), y(xi+1).
      Заметим, что уравнения (8) могут быть записаны для всех
                                       i = 0, 1, , N −1,
так что равенства (8) образуют систему из N уравнений (при i = N равенство
(8) написать нельзя, поскольку при таком i узел xi + 1 выйдет за пределы сетки).
      К сожалению, входящие в правую часть уравнений (8) погрешности ωi
нам неизвестны, поэтому непосредственно воспользоваться системой (8) для
отыскания величин y(xi), i = 1, 2, , N (y(x0) известно из начального условия)
нельзя. Однако, так как при малых h (а именно этот случай и будет
рассматриваться в дальнейшем) указанные погрешности малы, их в уравнениях
(8) естественно отбросить. Тогда, меняя обозначения для неизвестных с y(xi)
на yi (поскольку изменение правых частей уравнений (8) меняет, естественно,
их решение), приходим к системе уравнений:
             yi + 1 − y i
                           = f ( xi , yi ),       i = 0 , 1, K , N − 1.     (9)
                   h
      Добавляя к этой системе равенство
                               y0 = φ,                                      (10)
получим замкнутую систему скалярных уравнений для отыскания величин yi .
      Последовательность
                           y0, y1, , yN

Страницы