ВУЗ:
Составители:
26
Конечными разностями (∆
m
f )
k
порядка m ( m=0, 1, ... , n ) в узлах
x
k
( k=0, 1, ... , n – m ) называют величины , заданные формулами:
а) (∆
0
f )
k
= f ( x
k
) , k = 0, 1, ... , n ;
б) (∆
m
f )
k
= (∆
m-1
f )
k+1
- (∆
m-1
f )
k
, m=1, 2, ... ,n , k=0, 1, ... , n – m .
Для функции f из упражнения 3 составить таблицу конечных
разностей .
6. Выразить конечную разность (∆
m
f )
k
через значения f
i
функции f в
узлах .
7. Вывести первую интерполяционную формулу Ньютона:
Указание: установить связь между конечными и разделёнными
разностями в случае равноотстоящих узлов.
8. Составить многочлен Эрмита для функции f , у которой значения в
узлах 0 и 1 равны соответственно единице и четырём, а значения
производной – единице и шести.
9. Составить многочлен Эрмита для функции f, принимающей в узлах
0,1,2 соответственно значения 1,4,15 и имеющей в узле 1 значение
производной, равное 6.
10. Вывести формулу (4.29). Указание: записать аналогичную формулу для
многочлена p
s-1
ε
( x) и перейти к пределу при ε → 0.
11. Для функции
f(x) = 1 / ( 1+25x
2
) , - 1 ≤ x ≤ 1 ,
исследовать с помощью компьютера поведение интерполяционного
многочлена Ньютона при увеличении его степени n , используя для
интерполяции а) набор чебышевских узлов на отрезке [ - 1, 1 ] и б)
набор равноотстоящих узлов с x
0
= -1 , x
n
= 1. В случае равноотстоящих
узлов определить визуально зону сходимости значений многочлена
Ньютона к значениям интерполируемой функции.
12. Исследовать влияние ошибок округлений при вычислении значений
многочлена Ньютона с равноотстоящими узлами при больших n. О
потере численной устойчивости судить по возникновению
.)h)1n(xx(...)hxx)(xx(
h!n
)f(
...
)hxx)(xx(
h!2
)f(
)xx(
h!1
)f(
)x(f)x(p
000
n
0
n
00
2
0
2
0
0
1
0n
−−−−−−++
+−−−+−+=
∆
∆∆
26
m
Конечными разностями (∆ f ) k порядка m ( m=0, 1, ... , n ) в узлах
xk ( k=0, 1, ... , n – m ) называют величины, заданные формулами:
0
а) (∆ f )k = f ( xk ) , k = 0, 1, ... , n ;
m m-1 m-1
б) (∆ f )k = (∆ f )k+1 - (∆ f )k , m=1, 2, ... ,n , k=0, 1, ... , n – m .
Для функции f из упражнения 3 составить таблицу конечных
разностей.
m
6. Выразить конечную разность (∆ f )k через значения fi функции f в
узлах.
7. Вывести первую интерполяционную формулу Ньютона:
( ∆1 f )0 ( ∆ 2 f )0
pn ( x ) = f ( x0 ) + ( x −x0 ) + ( x −x0 )( x −x0 −h ) +
1! h 2! h 2
( ∆ n f )0
+... + ( x −x0 )( x −x0 −h ) ... ( x −x0 −( n −1 )h ) .
n! h n
Указание: установить связь между конечными и разделёнными
разностями в случае равноотстоящих узлов.
8. Составить многочлен Эрмита для функции f , у которой значения в
узлах 0 и 1 равны соответственно единице и четырём, а значения
производной – единице и шести.
9. Составить многочлен Эрмита для функции f, принимающей в узлах
0,1,2 соответственно значения 1,4,15 и имеющей в узле 1 значение
производной, равное 6.
10. Вывести формулу (4.29). Указание: записать аналогичную формулу для
многочлена ps-1 ε ( x) и перейти к пределу при ε → 0.
11. Для функции
f(x) = 1 / ( 1+25x2 ) , - 1 ≤ x ≤1 ,
исследовать с помощью компьютера поведение интерполяционного
многочлена Ньютона при увеличении его степени n, используя для
интерполяции а) набор чебышевских узлов на отрезке [ - 1, 1 ] и б)
набор равноотстоящих узлов с x0 = -1 , xn = 1. В случае равноотстоящих
узлов определить визуально зону сходимости значений многочлена
Ньютона к значениям интерполируемой функции.
12. Исследовать влияние ошибок округлений при вычислении значений
многочлена Ньютона с равноотстоящими узлами при больших n. О
потере численной устойчивости судить по возникновению
