Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 24 стр.

                                                           24
     Поменяем          теперь        местами              в наборе (4.1) узлы x0 , x1 :

                                x1 , x0 , x2 , ... , xn               ,                                        (4.1′ )

а в наборах (4.4) , (4.20) – группы узлов, отвечающие узлам интерполяции x0 ,x1:

           x1 , x1 , ... , x1 , x0 , x0 , ... , x0 , x2 , x2 , ... , x2 , ... , xn , xn , ... , xn       ,     ( 4.4′ )
                                                                     
                  s1                       s0                    s2                   sn

                     ε     ε
                    x11 , x12 , ... , x1εs , x01
                                              ε     ε
                                                 , x02 , ... , x0εs , x21
                                                                       ε
                                                                          , ... , xnε s              .       ( 4.20 ′ )
                                          1                        0                    n


Обозначим символом g s-1 (x) интерполяционный многочлен с кратными узлами
(4.4′ ) , построенный способом, описанным в настоящем пункте, а символом
gεs-1(x) – интерполяционный многочлен с простыми узлами (4.20′ ).
       Повторяя проведенную выше часть доказательства применительно к
многочлену g s-1(x) , будем иметь:
                        (r)                (r)
                    g      s-1(x1)   =f         (x1) , r = 0 ,1 , ... , s1 –1.                                 (4.26)

     Отметим, что интерполяционный многочлен с простыми узлами как
функция переменной x не зависит от нумерации узлов интерполяции ( чтобы в
этом убедиться, достаточно, например, записать этот многочлен в форме
Лагранжа, т.е. в виде суммы типа (1.2), и заметить, что перенумерации узлов
соответствует лишь изменение порядка слагаемых в этой сумме ). Но тогда
интерполяционные многочлены с простыми узлами pεs-1(x), gεs-1(x) совпадают

                              pεs-1(x) = gεs-1(x)                для любого x              ,                   (4.27)

поскольку наборы (4.20), (4.20′) их узлов интерполяции отличаются лишь
порядком узлов. Фиксируя в равенстве (4.27) значение x и переходя к пределу
при ε → 0 , в силу леммы 4.2 получим:

                          ps-1(x) = gs-1(x)                       для любого x ,

а это значит, что совпадают и многочлены ps-1(x), gs-1(x) с кратными узлами. Но
тогда формулу (4.26) можно переписать в виде:
                              (r)                (r)
                          p      s-1(x1)   =f          (x1 )    , r = 0,1, ... , s1 – 1.                       (4.28)

       Сопоставляя равенства (4.25), (4.28) , приходим к выводу, что многочлен
ps-1(x) удовлетворяет условиям (4.3) не только в узле x0 , но и в узле x1 . А так