Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
порядка m на выражение
В силу леммы 4.1 разделённая разность (4.22) при ε → 0 стремится к
разделённой разности (4.7), а в силу (4.17) выражение (4.23) имеет своим
пределом выражение (4.8). Отсюда и следует, что значение в точке x
многочлена (4.21) сходится при ε → 0 к значению в той же точке многочлена
(4.6) с кратными узлами.
Теорема 4.3. Многочлен p
s-1
(x) , заданный формулами (4.6) – (4.8) ,
удовлетворяет условиям (4.3).
Доказательство. Запишем многочлен (4.6) в виде
p
s-1
(x) = f(x
0
) + ... . (4.24)
Обозначенные здесь многоточием слагаемые в случае , когда s
0
=1 и x
0
–
единственный узел интерполяции, отсутствуют, а в остальных случаях , как это
видно из (4.8), содержат множитель ( x – x
0
) в степени, не ниже первой.
Поэтому подстановка x = x
0
в равенство (4.24) даёт
p
s-1
(x
0
) = f(x
0
),
а это и означает, что первое из условий (4.3) в узле x
0
выполнено.
Далее, если s
0
> 1 , то вместо (4.24) можно написать
p
s
-1
(x) = f(x
0
) + f(x
0
,x
0
)(x – x
0
) + ... ;
при этом обозначенные многоточием слагаемые в случае , когда s
0
= 2 и x
0
–
единственный узел интерполяции, отсутствуют, а в остальных случаях содержат
множитель ( x – x
0
) в степени, не ниже второй. Поэтому в результате
дифференцирования этого равенства по x и последующей подстановки x = x
0
получим
p ′
s
-1
(x
0
) = f(x
0
,x
0
) = (1/1!)f ′ (x
0
) = f ′ (x
0
),
а значит, и второе из условий (4.3) в узле x
0
выполнено.
Продолжая аналогичные рассуждения , придём к выводу, что многочлен
p
s
-1
(x) удовлетворяет и всем остальным условиям (4.3) в узле x
0
:
p
s
-1
(r)
(x
0
) = f
(r)
(x
0
) , r = 0,1, ... , s
0
–1. (4.25)
)23.4(.)xx(...)xx(...)xx(...)xx()xx(...)xx(
1l
1lr1r
s
s1
11
s
s0
01
1
1
0
0
44443444421
444344421
44443444421
−
−
−−−−−−
ε
ε
ε
ε
ε
ε
                                                    23
порядка m на выражение

      ε
( x −x01 ) ... ( x −x0εs )( x −x11
                                ε
                                   ) ... ( x −x1εs ) ... ( x −xrε1 ) ... ( x −xrε l −1 ) . ( 4.23 )
              0 
                                                 1                        
            s0                              s1                            l −1


В силу леммы 4.1 разделённая разность (4.22) при ε → 0 стремится к
разделённой разности (4.7), а в силу (4.17) выражение (4.23) имеет своим
пределом выражение (4.8). Отсюда и следует, что значение в точке x
многочлена (4.21) сходится при ε → 0 к значению в той же точке многочлена
(4.6) с кратными узлами.
      Теорема 4.3. Многочлен ps-1(x) , заданный формулами (4.6) – (4.8) ,
удовлетворяет условиям (4.3).
      Доказательство. Запишем многочлен (4.6) в виде

           ps-1(x) = f(x0) + ...                                                  .          (4.24)

Обозначенные здесь многоточием слагаемые в случае, когда s0=1 и x0 –
единственный узел интерполяции, отсутствуют, а в остальных случаях , как это
видно из (4.8), содержат множитель ( x – x0 ) в степени, не ниже первой.
Поэтому подстановка x = x0 в равенство (4.24) даёт

                                             ps-1(x0) = f(x0),

а это и означает, что первое из условий (4.3) в узле x0 выполнено.
      Далее, если s0 >1 , то вместо (4.24) можно написать

                            ps-1(x) = f(x0) + f(x0 ,x0)(x – x0) + ... ;

при этом обозначенные многоточием слагаемые в случае, когда s0 = 2 и x0 –
единственный узел интерполяции, отсутствуют, а в остальных случаях содержат
множитель ( x – x0 ) в степени, не ниже второй. Поэтому в результате
дифференцирования этого равенства по x и последующей подстановки x = x0
получим

                         p′s-1(x0) = f(x0 ,x0) = (1/1!)f ′ (x0) = f ′ (x0),

а значит, и второе из условий (4.3) в узле x0 выполнено.
       Продолжая аналогичные рассуждения, придём к выводу, что многочлен
ps-1(x) удовлетворяет и всем остальным условиям (4.3) в узле x0 :

              ps-1(r)(x0 ) = f (r)(x0 ) ,                r = 0,1, ... , s 0 –1.              (4.25)

Страницы