ВУЗ:
Составители:
21
и весь набор
“возмущенных” узлов (4.16) окажется набором попарно различных точек.
Обозначим через T таблицу разделённых разностей для набора (4.4) (
или, в других обозначениях, для набора (4.15) ) кратных узлов, а через T
ε
-
таблицу разделённых разностей для простых (т.е. попарно различных) узлов
(4.20).
Лемма 4.1. Пусть f∈ C
s-1
[a,b] . Тогда каждый элемент таблицы T
ε
стремится при ε → 0 к соответствующему элементу таблицы T.
Доказательство. Ввиду непрерывности функции f соотношение (4.17)
влечёт соотношение
что и означает справедливость утверждения леммы в случае разделённых
разностей нулевого порядка.
Предположим справедливость леммы для разделённых разностей порядка
m-1, и рассмотрим произвольную разделённую разность порядка m.
Если все аргументы этой разделённой разности принадлежат одной и той же
группе узлов (4.16), то , применяя к этой разности выведенную ранее для
попарно различных узлов формулу (3.7), получим :
где ξ - точка наименьшего интервала вещественной оси, содержащего все узлы
этой разделённой разности . Так как при ε→ 0 все аргументы разделённой
разности стремятся (см. (4.17) ) к узлу x
i
, к тому же узлу стремится и точка ξ , а
потому предельный переход даёт:
Правая же часть полученного равенства в силу (4.10) есть соответствующий
элемент таблицы T.
i
i
min
ε
ε
<
)20.4(x,...,x,x,...,x,...,x,x,x,...,x,x
n10
nS
2n1n
S1
1211
S0
0201
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
,)x(f)x(f)x(f
i
ir
ir
=→
ε
,)(f)!m/1()x,...,x,x(f
)m(
1
m
qi1pipi
ξ
ε
ε
ε
=
+
+
444344421
.)x(f)!m/1()x,...,x,x(flim
i
)m(
qi1pipi
0
=
+
→
ε
ε
ε
ε
21
ε 
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
