Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 22 стр.

                                                        22


      Наконец, если крайние аргументы рассматриваемой разделённой разности
порядка m относятся к разным узлам xi , то для получения нужного результата
следует совершить предельный переход при ε → 0 в формуле, выражающей
разделённую разность порядка m с простыми узлами xipε через разделённые
разности порядка m-1 :

f ( xiεp , xiεp +1 , ... , x εj q ) =( f ( xiεp , ... , xεj q −1 ) − f ( xiεp +1 , ... , xεj q )) /( xiεp −xεj q ) ;
                    
              m +1

по предположению индукции числитель дроби имеет пределом разность

                            f ( xi p , ... , x j q −1 ) − f ( xi p +1 , ... , x j q ) ,

а в силу (4.17) знаменатель стремится к

                                              xi p −x j q      ,


и полученное в качестве предела отношение оказывается (см.   (4.9) )
соответствующим элементом таблицы T разделённых разностей с кратными
узлами.
     Составим теперь интерполяционный многочлен

                                         p sε−1 ( x; { xiεr }; f )                                       ( 4.21 )

степени ≤ s-1 с простыми (т.е. попарно различными ) узлами (4.20),
зафиксируем в нём значение переменной x и выясним, к чему стремится
полученное выражение при ε → 0 .
      Лемма 4.2. Значение многочлена (4.21) в точке x стремится при ε → 0 к
значению в той же точке многочлена (4.6) с кратными узлами x0 ,x1 , ... ,xn
                                                              s-1
(здесь также предполагается принадлежность функции f классу C [a ,b] ).
      Доказательство. Согласно выведенной в предыдущем разделе формуле для
многочлена Ньютона с попарно различными («простыми») узлами многочлен
(4.21) с простыми узлами (4.20), записанный в форме Ньютона , представляет
собой сумму, слагаемое которой с номером m ( m=0,1, ... , s-1 ) есть
произведение разделённой разности

            m                      +1                            
             ε     ε           ε      ε     ε           ε           ε      ε            ε
        f ( x01 , x02 , ... , x0 s , x11 , x12 , ... , x1s , ... , xr 1 , xr 2 , ... , xrl ) , l ≤sr      ( 4.22 )
                           0                1        
                      s0                       s1                          l