Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
Наконец , в пятом столбце находится
разделённая разность 3 – го порядка:
Мы намеренно в формулах (4.11) – (4.13) дали детальные представления
разделённых разностей через величины
f(x
0
) , f
′
(x
0
) , f(x
1
) , f
′
(x
1
) , (4.14)
чтобы продемонстрировать тот факт, что величинами (4.14) указанные разности
определяются однозначно ; практическое же вычисление этих разделённых
разностей , т.е. практическое заполнение таблицы 3, проводится индуктивно по
формулам (4.9) – (4.10), т.е. согласно левым из равенств (4.11) – (4.13).
После того, как элементы таблицы 3 вычислены , для получения
интерполяционного многочлена следует подставить значения разделённых
разностей из первой строки этой таблицы в выражение
p
3
(x) = f(x
0
) + f(x
0
,x
0
)(x – x
0
) + f(x
0
,x
0
,x
1
)(x – x
0
)
2
+
+ f(x
0
,x
0
,x
1
,x
1
)(x – x
0
)
2
(x – x
1
).
Выше описано , как составляется интерполяционный многочлен в случае
кратных узлов. Теперь следует пояснить , почему такой способ действительно даёт
интерполяционный многочлен, т.е. почему при этом оказываются выполненными
условия (4.3).
Обратимся к набору узлов (4.4) и снабдим в нём разные экземпляры
одного и того же узла x
i
дополнительными индексами:
x
ir
= x
i
, r=1,2, ... ,s
i
.
Тогда этот набор узлов запишется в виде:
)13.4(.
xx
xx
)x(f
xx
)x(f)x(f
xx
xx
)x(f)x(f
)x(f
xx
)x,x,x(f)x,x,x(f
)x,x,x,x(f
1
0
10
1
10
10
10
10
10
0
10
110100
1100
−
−
′
−
−
−
−
−
−
−
−
′
=
=
−
−
=
)15.4(.x,...,x,...,x,...,x,...,x,x,...,x,x,x,...,x,x
n
1
0
nS1nir1i21S11211S00201
                                                            19
Наконец, в пятом столбце находится разделённая разность 3 – го порядка:

                            f ( x0 , x0 , x1 ) − f ( x0 , x1 , x1 )
f ( x0 , x0 , x1 , x1 ) =                                           =
                                           x0 −x1
                       f ( x0 ) − f ( x1 )                       f ( x0 ) − f ( x1 )
         f ′( x0 ) −                                                                 − f ′( x1 )
                            x0 −x1                                    x0 −x1
                                                     −
                      x0 −x1                                               x0 −x1
=                                                                                                           .      ( 4.13 )
                                               x0 −x1

      Мы намеренно в формулах (4.11) – (4.13) дали детальные представления
разделённых разностей через величины

                                        f(x0 ) , f ′(x0 ) , f(x1 ) , f ′(x1 ) ,                                     (4.14)

чтобы продемонстрировать тот факт, что величинами (4.14) указанные разности
определяются однозначно; практическое же вычисление этих разделённых
разностей, т.е. практическое заполнение таблицы 3, проводится индуктивно по
формулам (4.9) – (4.10), т.е. согласно левым из равенств (4.11) – (4.13).
     После того, как элементы таблицы 3 вычислены, для получения
интерполяционного многочлена следует подставить значения разделённых
разностей из первой строки этой таблицы в выражение

p3 (x) = f(x0 ) + f(x0 ,x0 )(x – x0 ) + f(x0 ,x0 ,x1 )(x – x0 )2 +

                                                             + f(x 0 ,x0 ,x1,x1)(x – x0 )2(x – x1 ).

     Выше описано, как составляется интерполяционный многочлен в случае
кратных узлов. Теперь следует пояснить, почему такой способ действительно даёт
интерполяционный многочлен, т.е. почему при этом оказываются выполненными
условия (4.3).
     Обратимся к набору узлов (4.4) и снабдим в нём разные экземпляры
одного и того же узла xi дополнительными индексами:

                                           xir = xi , r=1,2, ... ,si .

Тогда этот набор узлов запишется в виде:

 x01 , x02 , ... , x0 S0 , x11 , x12 , ... , x1S1 , x21 , ... , xi1 , ... , xir , ... , xn1 , ... , xnS n       . ( 4.15 )

Страницы