Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
Здесь
- разделённая разность порядка m с кратными узлами. В обозначениях (4.4)
она принимает вид
а множитель при ней в формуле (4.6) – вид
Чтобы завершить описание интерполяционного многочлена, следует
уточнить , какой смысл вкладывается в понятие разделённой разности с кратными
узлами.
Как и в случае простых узлов, разделенные разности с кратными узлами
определяются индуктивно по порядку разделённой разности .
Именно, разделённая разность 0 – го порядка функции f в узле y
k
= x
j
есть
значение f в этом узле:
f(y
k
) = f(x
j
).
Далее, разделённая разность m – го порядка ( m ≥ 1 )
f(y
k
,y
k+1
, ... ,y
k+m
)
в узле y
k
, если её крайние аргументы y
k
, y
k+m
представляют собой различные
точки вещественной оси
y
k
= x
i
, y
k+m
= x
j
, i ≠ j ,
выражается через разделённые разности предшествующего (m–1) – вого порядка
по обычной формуле:
∑
−
=
−−
−−−=
1s
0
m
1m10m101s
)6.4(.)yx(...)yx)(yx)(y,...,y,y(f)x(p
)y,...,y,y(f
m
1
0
)7.4(,sl,)x,...,x,x,...,x,...,x,x,x,...,x,x(f
r
1m
l
rrr
s
111
s
000
1
0
≤
+
4444444484444444476
4342143421
4434421
)8.4(.)xx(...)xx()xx(
1l
r
s
1
s
0
1
0
−
−−−
                                                           17

                    s −1
  p s −1 ( x ) =    ∑      f ( y0 , y1 , ... , y m )( x −y0 )( x −y1 ) ... ( x −y m−1 ) .           ( 4.6 )
                   m =0

Здесь
                                     f ( y0 , y1 , ... , y m )

- разделённая разность порядка m с кратными узлами. В обозначениях (4.4)
она принимает вид

                                 m +1                      
          f ( x0 , x0 , ... , x0 , x1 , x1 , ... , x1 , ... , xr , xr , ... , xr )   ,   l ≤sr   , ( 4.7 )
                                                  
                      s0                   s1                        l


а множитель при ней в формуле (4.6) – вид

                           ( x −x0 )s0 ( x −x1 )s1 ... ( x −xr )l −1 .                              ( 4.8 )


     Чтобы завершить описание интерполяционного многочлена, следует
уточнить, какой смысл вкладывается в понятие разделённой разности с кратными
узлами.
     Как и в случае простых узлов, разделенные разности с кратными узлами
определяются индуктивно по порядку разделённой разности.
     Именно, разделённая разность 0 – го порядка функции f в узле yk = xj есть
значение f в этом узле:

                                                   f(yk ) = f(xj ).

        Далее, разделённая разность m – го порядка ( m ≥1 )

                                                f(yk ,yk+1 , ... ,yk+m )

в узле yk , если её крайние аргументы yk , yk+m представляют собой различные
точки вещественной оси

                                         yk = xi , yk+m = xj , i ≠j ,

выражается через разделённые разности предшествующего (m–1) – вого порядка
по обычной формуле:

Страницы