Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
s
0
, s
1
, … , s
n
(4.2)
( необязательно различных ) натуральных чисел .
Если в узле x
i
заданы не только значения функции f , но и значения её
производных до порядка s
i
– 1 включительно, то узел x
i
называют узлом
кратности s
i
.
При интерполировании с кратными узлами естественно требовать , чтобы в
узле x
i
совпадали не только значения функции f и интерполяционного
многочлена, но и значения их производных до порядка s
i
– 1 включительно.
Таким образом, в узле x
i
имеем s
i
условий , а общее число условий s окажется
равным сумме кратностей (4.2) узлов (4.1):
s = s
0
+ s
1
+ ... + s
n
.
А так как число параметров интерполяционного многочлена – его коэффициентов
– должно совпадать с числом условий s, степень интерполяционного многочлена
должна равняться s – 1.
Определение 4.1.Интерполяционным многочленом для функции f с узлами
(4.1) с кратностями (4.2) ( обозначение p
s - 1
( x; {x
j
}; {s
j
}; f ) ) называют
многочлен степени не выше s – 1 , удовлетворяющий условиям:
Как и в случае простых узлов, интерполяционный многочлен с кратными
узлами можно записывать в форме Лагранжа и в форме Ньютона. В последнем
случае переписывают узлы интерполяции (4.1), продублировав каждый узел
столько раз , какова его кратность
затем переобозначают полученную совокупность узлов символами
y
0
, y
1
, y
2
, … , y
s – 1
(4.5)
и записывают интерполяционный многочлен в виде
)3.4(.1s,...,1,0r,n,...,1,0i,)x(f)f;}s{;}x{;x(p
ii
)r(
jji
)r(
1s
−===
−
)4.4(,x,...,x,x,...,x,...,x,x,x,...,x,x
n
1
0
s
nnn
s
111
s
000
4434421
43421
43421
                                                         16


                                             s0 , s1 , … , sn                                       (4.2)

( необязательно различных ) натуральных чисел.
      Если в узле xi заданы не только значения функции f , но и значения её
производных до порядка si – 1 включительно, то узел xi называют узлом
кратности si .
      При интерполировании с кратными узлами естественно требовать, чтобы в
узле xi совпадали не только значения функции f и интерполяционного
многочлена, но и значения их производных до порядка si – 1 включительно.
Таким образом, в узле xi имеем si условий, а общее число условий s окажется
равным сумме кратностей (4.2) узлов (4.1):

                                        s = s0 + s1 + ... + sn .

А так как число параметров интерполяционного многочлена – его коэффициентов
– должно совпадать с числом условий s, степень интерполяционного многочлена
должна равняться s – 1.
      Определение 4.1.Интерполяционным многочленом для функции f с узлами
(4.1) с кратностями (4.2) ( обозначение ps - 1 ( x; {xj }; {sj }; f ) ) называют
многочлен степени не выше s – 1 , удовлетворяющий условиям:

 p (s −
      r)
       1 ( xi ; { x j } ; { s j } ; f ) = f
                                            (r )
                                                 ( xi ) , i =0 ,1, ... , n , r =0 ,1, ... , si −1 . ( 4.3 )


     Как и в случае простых узлов, интерполяционный многочлен с кратными
узлами можно записывать в форме Лагранжа и в форме Ньютона. В последнем
случае переписывают узлы интерполяции (4.1), продублировав каждый узел
столько раз, какова его кратность

                       x0 , x0 , ... , x0 , x1 , x1 ,... , x1 , ... , xn , x n , ... , x n   ,     ( 4.4 )
                                                                     
                               s0                   s1                         sn



затем переобозначают полученную совокупность узлов символами

                                      y0 , y1 , y2 , … , ys – 1                                     (4.5)

и записывают интерполяционный многочлен в виде

Страницы