Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
где ξ - внутренняя точка наименьшего отрезка вещественной оси, содержащего
все узлы интерполяции x
k
, x
k+1
, ... , x
k + m
.
Доказательство. Переобозначим узлы
x
k
, x
k+1
, … , x
k + m
(3.8)
соответственно символами
y
0
, y
1
, … , y
m
, (3.9)
составим интерполяционный многочлен p
m – 1
(y; {y
0
, y
1
, … , y
m – 1
}; f ) для
функции f по совокупности узлов (3.9) без последнего узла y
m
и приравняем
погрешности сответствующих многочленов Лагранжа и Ньютона ( ведь это
разные формы записи одного и того же многочлена p
m – 1
) в точке y = y
m
:
( f
( m )
(ξ ) / m! ) ( y
m
- y
0
)( y
m
– y
1
) ... (y
m
– y
m – 1
) =
= f(y
m
, y
0
, y
1
, ... , y
m – 1
)( y
m
– y
0
)( y
m
– y
1
) ... ( y
m
– y
m – 1
) .
Здесь ξ - внутренняя точка наименьшего отрезка вещественной оси, содержащего
узлы у
0
, y
1
, ... , y
m
, а значит, наименьшего отрезка, содержащего узлы (3.8).
Сокращая полученное равенство на величины ( y
m
– y
i
), возвращаясь к
обозначениям (3.8) и меняя в разделённой разности порядок аргументов,
приходим к формуле (3.7).
Замечание 3.4. Формула (3.7) позволяет считать , что с точностью до
числового множителя (1 / m!) разделённая разность порядка m есть дискретный
аналог m – той производной.
4
0
. Интерполяция с кратными узлами.
Рассмотрим набор
x
0
, x
1
, … , x
n
(4.1)
( попарно различных ) узлов интерполяции и набор
)7.3(,
!m
)(f
)x,...,x,x(f
)m(
mk1kk
ξ
=
++
                                                  15


                                                                       f ( m )(ξ )
                                  f ( x k , x k +1 ,... , x k +m ) =               ,           ( 3.7 )
                                                                           m!


где ξ - внутренняя точка наименьшего отрезка вещественной оси, содержащего
все узлы интерполяции xk , xk+1 , ... , xk + m .
      Доказательство. Переобозначим узлы

                                       xk , xk+1 , … , xk + m                                   (3.8)

соответственно символами

                                     y0 , y1 , … , ym ,                                         (3.9)

составим интерполяционный многочлен pm – 1 (y; {y0 , y1 , … , ym – 1 }; f ) для
функции f по совокупности узлов (3.9) без последнего узла ym и приравняем
погрешности сответствующих многочленов Лагранжа и Ньютона ( ведь это
разные формы записи одного и того же многочлена pm – 1 ) в точке y = ym :
     (m)
(f     (ξ ) / m! ) ( ym - y0 )( ym – y1 ) ... (ym – ym – 1 ) =

                     = f(ym , y0 , y1 , ... , ym – 1 )( ym – y0 )( ym – y1 ) ... ( ym – ym – 1 ) .

Здесь ξ - внутренняя точка наименьшего отрезка вещественной оси, содержащего
узлы у0 , y1 , ... , ym , а значит, наименьшего отрезка, содержащего узлы (3.8).
     Сокращая полученное равенство на величины ( ym – yi ), возвращаясь к
обозначениям (3.8) и меняя в разделённой разности порядок аргументов,
приходим к формуле (3.7).
     Замечание 3.4. Формула (3.7) позволяет считать, что с точностью до
числового множителя (1 / m!) разделённая разность порядка m есть дискретный
аналог m – той производной.


           40. Интерполяция с кратными узлами.


           Рассмотрим набор

                                             x0 , x1 , … , xn                                   (4.1)

( попарно различных ) узлов интерполяции и набор

Страницы