Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
и выразим из нее значение функции f в точке x:
f(x) = f(x
0
) + f(x
,x
0
) ( x – x
0
) . (3.1)
Чтобы исключить отсюда f(x, x
0
), составим разделённую разность второго
порядка
f(x, x
0
, x
1
) = ( f(x, x
0
) – f(x
0
, x
1
) ) / ( x – x
1
) ,
выразим отсюда f(x, x
0
):
f(x, x
0
) = f(x
0
,x
1
) + f(x, x
0
, x
1
) ( x – x
1
) ,
и подставим результат в (3.1). Получим :
f(x) = f(x
0
) + f(x
0
, x
1
)( x – x
0
) + f(x, x
0
, x
1
)( x – x
0
)( x – x
1
) .
Продолжая аналогичные рассуждения , в конце концов придём к формуле:
f(x) = f(x
0
) + f(x
0
, x
1
)( x –x
0
) + f(x
0
, x
1
, x
1
)( x – x
0
)( x – x
1
) + ... +
+ f(x
0
, x
1
, ... , x
k
)( x – x
0
)( x – x
1
) ... ( x – x
k-1
) + ... +
+ f(x
0
,
x
1
, ... , x
n
)( x – x
0
)( x – x
1
) ... ( x – x
n-1
) +
+ f(x , x
0
, x
1
, ... , x
n
)( x – x
0
)( x – x
1
) ... ( x – x
n
) . (3.2)
Формула (3.2) справедлива для любой функции. Следовательно,
аналогичное равенство можно написать и для интерполяционного многочлена
p
n
( x ) = p
n
(x; f) ; при этом, поскольку в силу теоремы 2.5 разделённая
разность (n+1) – вого порядка
p
n
(x , x
0
, x
1
, ... , x
n
)
от многочлена p
n
степени ≤ n равна нулю , последнее слагаемое в формуле (3.2)
окажется равным нулю , и формула примет вид :
p
n
(x) = p
n
(x
0
) + p
n
(x
0
, x
1
)( x – x
0
) + ... + p
n
(x
0
, x
1
, ... , x
k
)( x – x
0
)( x – x
1
) ...
... ( x – x
k –1
) + ... + p
n
(x
0
, x
1
, ... , x
n
)( x – x
0
)( x – x
1
) ... ( x – x
n – 1
) . (3.3) 
                                                    13


и выразим из нее значение функции f в точке x:

                                      f(x) = f(x0 ) + f(x ,x0 ) ( x – x0 ) .                   (3.1)

     Чтобы исключить отсюда f(x, x0 ), составим разделённую разность второго
порядка

                       f(x, x0 , x1 ) = ( f(x, x0 ) – f(x0 , x1 ) ) / ( x – x1 ) ,

выразим отсюда f(x, x0 ):

                          f(x, x0 ) = f(x0 ,x1 ) + f(x, x0 , x1 ) ( x – x1 ) ,

и подставим результат в (3.1). Получим:

            f(x) = f(x0 ) + f(x0 , x1 )( x – x0 ) + f(x, x0 , x1 )( x – x0 )( x – x1 ) .

       Продолжая аналогичные рассуждения, в конце концов придём к формуле:

f(x) = f(x0 ) + f(x0 , x1 )( x –x0 ) + f(x0 , x1 , x1)( x – x0 )( x – x1 ) + ... +

+ f(x0 , x1 , ... , xk )( x – x0 )( x – x1 ) ... ( x – xk-1 ) + ... +

+ f(x0 , x1 , ... , xn )( x – x0 )( x – x1 ) ... ( x – xn-1 ) +

+ f(x , x0 , x1 , ... , xn )( x – x0 )( x – x1 ) ... ( x – xn ) .                              (3.2)


      Формула     (3.2)    справедлива для любой функции. Следовательно,
аналогичное равенство можно написать и для интерполяционного многочлена
 pn ( x ) = pn (x; f) ; при этом, поскольку в силу теоремы 2.5 разделённая
разность (n+1) – вого порядка

                                        pn (x , x0 , x1 , ... , xn )

от многочлена pn степени ≤n равна нулю, последнее слагаемое в формуле (3.2)
окажется равным нулю, и формула примет вид:

pn (x) = pn (x0 ) + pn (x0 , x1 )( x – x0 ) + ... + pn (x0 , x1 , ... , xk )( x – x0 )( x – x1 ) ...

... ( x – xk –1 ) + ... + pn (x0 , x1 , ... , xn )( x – x0 )( x – x1 ) ... ( x – xn – 1 ) .   (3.3)

Страницы