Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
p(x) – p(x
0
) = ( x – x
0
) q
n-1
(x) ,
где q
n-1
(x) – многочлен степени не выше n-1. Следовательно, дробь (2.12)
совпадает со значением этого многочлена в точке x:
p(x, x
0
) = q
n-1
(x) для любого x ≠ x
0
. (2.13)
Далее, считая х ≠ x
0
, x
1
, составим разделённую разность 2 – го порядка
p(x, x
0
, x
1
) = ( p(x, x
0
) – p(x
0
, x
1
) ) / ( x – x
1
) = ( q
n-1
(x) – p(x
0
, x
1
) / (x – x
1
) .
Числитель последней дроби, если рассматривать его как функцию , заданную на
всей вещественной оси, есть многочлен степени не выше n-1, обращающийся в
силу равенства (2.13) и следствия 2.4 в нуль в точке x = x
1
:
q
n-1
(x
1
) – p(x
0
, x
1
) = p(x
1
, x
0
) – p(x
0
, x
1
) = 0 .
Применяя ещё раз теорему Безу, приходим к выводу, что для любого x
q
n-1
(x) – p(x
0
, x
1
) = (x – x
1
) q
n-2
(x) ,
где q
n-2
– многочлен степени не выше n-2 . Следовательно,
p(x, x
0
, x
1
) = q
n-2
(x) для любого x ≠ x
0
,x
1
.
Продолжая аналогичные рассуждения , в конце концов придём к выводу о
том, что значение разделённой разности n – го порядка
p(x, x
0
, x
1
, ... , x
n-1
)
в любой точке x ≠ x
0
,x
1
, ... , x
n-1
совпадает со значением в этой точке
многочлена q
0
нулевой степени, т.е. с константой:
p(x, x
0
, x
1
, ... , x
n-1
) = c = const для любого x ≠ x
0
,x
1
, ... ,x
n-1
.
При этом для нахождения этой константы достаточно положить здесь x = x
n
; с
учётом следствия 2.4 тогда получим :
p(x, x
0
, ... , x
n-1
) = p(x
0
, x
1
, ... , x
n
) для любого x ≠ x
0
,x
1
, ... ,x
n-1
. (2.14)
Докажем , что значение константы c не зависит от выбора узлов, т.е. что
для любого другого набора узлов 
                                                 11


                              p(x) – p(x0 ) = ( x – x0 ) qn-1 (x) ,

где qn-1 (x) – многочлен степени не выше n-1. Следовательно, дробь (2.12)
совпадает со значением этого многочлена в точке x:

                        p(x, x0 ) = qn-1(x)           для любого x ≠x0 .                    (2.13)

       Далее, считая х ≠x0 , x1 , составим разделённую разность 2 – го порядка

p(x, x0 , x1 ) = ( p(x, x0 ) – p(x0 , x1 ) ) / ( x – x1 ) = ( qn-1 (x) – p(x0 , x1 ) / (x – x1 ) .

Числитель последней дроби, если рассматривать его как функцию, заданную на
всей вещественной оси, есть многочлен степени не выше n-1, обращающийся в
силу равенства (2.13) и следствия 2.4 в нуль в точке x = x1 :

                    qn-1 (x1) – p(x0 , x1 ) = p(x1 , x0 ) – p(x0 , x1 ) = 0 .

Применяя ещё раз теорему Безу, приходим к выводу, что для любого x

                           qn-1 (x) – p(x0 , x1 ) = (x – x1 ) qn-2 (x) ,

где qn-2 – многочлен степени не выше n-2 . Следовательно,

                     p(x, x0 , x1 ) = qn-2 (x)    для любого x ≠x0 ,x1 .

      Продолжая аналогичные рассуждения, в конце концов придём к выводу о
том, что значение разделённой разности n – го порядка

                                     p(x, x0 , x1 , ... , xn-1 )

в любой точке x ≠ x0 ,x1 , ... , xn-1 совпадает со значением в этой точке
многочлена q0 нулевой степени, т.е. с константой:

       p(x, x0 , x1 , ... , xn-1 ) = c = const         для любого x ≠x0 ,x1 , ... ,xn-1 .

При этом для нахождения этой константы достаточно положить здесь x = xn ; с
учётом следствия 2.4 тогда получим:

 p(x, x0 , ... , xn-1 ) = p(x0 , x1 , ... , xn ) для любого x ≠x0 ,x1 , ... ,xn-1 .         (2.14)

     Докажем, что значение константы c не зависит от выбора узлов, т.е. что
для любого другого набора узлов

Страницы